从电磁场到规范场的数学故事

——浅谈杨-米尔斯理论的几何内涵

原创 作者 古志鸣

　　公元 2025 年 10 月 18 日，享誉世界的中国物理学家杨振宁先生逝世，正在旅行中的我得知这一噩耗后，和全球所有的科学爱好者一样，为我们失去一位科学伟人深感悲痛和惋惜。

　　在我的心目中有两位华人学术偶像，即数学家陈省身先生（1984年沃尔夫奖得主）和物理学家杨振宁先生。这里的主要原因是他们共同开创了 20 世纪后半期数学与物理学的新的主流领域。就拿这个领域的专业文献来说吧， 以他们的姓命名的科学术语，像 Chern classes,Chern-Weil theorem 和 Yang-Mills fields, Yang-Baxter equation 等，总是频频出现在该领域的学术专著和期刊的页面中。我个人的幸运之处是曾经师从周学光先生系统地学习了代数拓扑学，对物理学也很感兴趣，因而在理解有关的文献方面有少许便利条件。如今这两位大师都已先后仙逝，但是他们留下的科学理论将永载史册。

　　杨振宁先生对科学的贡献巨大，其中除了众所周知的与李政道先生合作的关于弱相互作用宇称不守恒的诺贝尔奖工作，还包括著名的杨-米尔斯理论和杨-巴克斯特方程等贡献。

　　为了表达对杨振宁先生的崇敬之意，纪念杨先生的功绩，笔者再次阅读了与他有关的一些文献，重温其中的深刻思想。限于我的智力水平， 以下主要关注杨-米尔斯理论，简单地说，这个理论把麦克斯韦的电磁场理论，即结构群是阿贝尔群 U(1)的规范场理论，推广到结构群是 SU(2)的非阿贝尔规范场理论。

　　作为物理学理论的杨-米尔斯理论因为其深刻性和普适性，在1954 年发表之后的一段时间里没有得到学界的理解和赏识，但是随着时间的推移，人们发现这正是我们苦苦追求的统一描写自然界基本相互作用的理论框架。这个理论框架的重要性集中体现在后来的几届诺贝尔物理学奖工作中：1979 年格拉肖、萨拉姆和温伯格关于电-弱统一理论的工作；1984 年卢比亚和范德米尔发现 W 粒子和 Z 粒子的工作；1999 年特霍夫特和维尔特曼关于非阿贝尔规范场重整化的工作。现在，规范场理论已经成为物理学界公认的基本粒子的标准模型的基础。[14],[15]

　　杨-米尔斯理论除了在物理学中开辟了新的纪元，还引发了纯数学中的崭新的研究方向。这件事的起因是杨振宁先生对规范场理论的数学内涵的追问。在 1970 年代，通过数学家赛蒙斯对纤维丛的拓扑学（特别包括陈-韦伊定理）的讲解，杨先生和吴大峻先生发表了规范场与纤维丛之间的对应关系（即吴-杨字典）。接下来，经菲尔兹奖得主阿蒂亚和辛格， 以及乌伦贝克、陶伯斯、希钦和博特等人的大力推动，数学家们(包括一些物理学家)展开了持续二十多年的相关研究，而且成果极为丰硕，我们试着简述如下[16]。

　　首先是熟知的两届菲尔兹奖的工作。拓扑学的基本问题是对流形做同胚及微分同胚的分类（最原始的思想是对三角形做相似及全等的分类）。在1980年代之前，数学界对三维和四维流形的认识还很不完善，1986年的菲尔兹奖得主唐纳森的贡献是发现了一种区别四维流形微分结构的不变量，其奥妙之处大致是这样的：

　　在数学中讨论杨-米尔斯场的时候，人们考虑一个紧致的定向的四维黎曼流形X 上面的一个SU(2)主丛，X 上的一个杨-米尔斯场是满足杨-米尔斯方程的2 次微分形式，A是其规范势(即该主丛的一个联络)。这里的霍奇星算子*在一般的n 维流形情形把k 次微分形式化为n-k 次微分形式。在四维这个特殊情形，星算子*把2次微分形式化为2次微分形式。

　　对于X 上一般的规范势A，如果还有，则称A是自对偶的规范势(或瞬子)，而且这样的自动满足杨-米尔斯方程。因为方程 关于规范势是一阶的，所以便于接下来的分析(数学详情见[1],[5],[7])。把流形X 上的全体自对偶的规范势的规范等价类的集合叫做X 的瞬子模空间, 唐纳森发现了这个模空间的拓扑性质蕴涵了X 的微分结构的信息。

　　1990 年的菲尔兹奖得主有四位，其中威腾(物理学家)、德林费尔德与琼斯三位获奖人的研究工作互相关联，涉及数学和物理学中多个重要概念。威腾在超弦理论领域长期居于领军的地位，而且对现代几何学有深刻的理解，并提出了拓扑量子场论等重要概念。威腾以物理学的语言为三维流形定义了一个拓扑不变量，它是陈-赛蒙斯规范场的量子配分函数，用一个路径积分表示，如果在其被积式中乘以一个环链的威尔森线，则得到该环链的不变量。德林费尔德用代数的方法研究量子系统的可观测量，提出了量子群的概念，从而联系到杨-巴克斯特方程。琼斯提出了新的环链多项式，它比经典的亚历山大多项式更有力，并发现了它与杨-巴克斯特方程的关系。前述的威腾的环链不变量恰是琼斯环链多项式的值[6]。

　　此后，在1994 年，物理学家赛伯格和威腾通过超对称规范场得到一个与杨-米尔斯方程等价的赛伯格-威腾方程，然后把瞬子模空间换成性质更好的磁单极子模空间，再使用威腾的拿手好戏,即拓扑量子场论，证明了从磁单极子模空间可以得到唐纳森不变量。这个思想开辟了四维流形的几何学研究的新方向[8][13]。

　　当上述的数学与物理学的互动热潮延续到20 世纪末的时候，规范场又跻身著名的千禧年七大数学问题之一，即要求在数学上严格证明：对于紧单群，物理量子杨-米尔斯场存在，并且具有质量间隙[12]。此问题现在仍然没有最后的答案，这看来真应了文献[8]的那个醒目的标题：Long live gauge theory!

(赛蒙斯先生向杨振宁先生推荐的数学书是数学家斯廷罗德的名著《纤维丛的拓扑学》，右图是该书的正文首页。)

　　20 世纪后期发生的数学和物理学的再次互动显然与杨先生的贡献密不可分，也和他的研究品味有关。从历史上看，数学中的纤维丛理论早在1940 年代就已经成型，其中标志性的成果首推陈省身于1944年发表的影响深远的论文《对闭黎曼流形高斯-博内公式的一个简单的内蕴证明》，最早的系统性总结是斯廷罗德的名著《The Topology of Fibre Bundles》，出版于1950 年。杨-米尔斯理论在1954 年发表时两位作者并不知道数学界的这个新领域。以杨先生那样高的智力和数学修养，在他初次阅读斯廷罗德的这本书的时候仍然感觉有隔膜，以致后来回忆时即兴说，“现今只有两类现代数学著作：一类是你看完第一页就不想看下去了，另一类是你看完第一句话就不想看下去了。”但这恰恰是他渴望理解数学，并进而追问物理学里面隐藏的数学结构的心情的表露，证据就是他在虚心向数学家请教之后，终于在1970 年代理解了规范场理论和纤维丛理论之间既深刻又巧妙的联系。这个特别的经历必然引起杨先生的感慨：“我欣赏数学家的价值判断，我崇尚数学的美和力量……当然，奇迹中的奇迹，数学中一些概念竟提供了主宰物理宇宙的基本结构。”

　　杨先生的学术经历在科学史上有极为重要的意义。按照数学家外尔和物理学家狄拉克的标准，一个伟大的科学理论既要有大量的实验和观测的验证，也要具备内在的形式美。相应地，对于后学者来说，一个人如果由衷地赞叹某一科学理论的深刻和优雅，那么他(她)一定有理解这个科学理论的能力：“现在我终于懂得这是什么了！”[11]。

　　下面仅就规范场理论的数学部分说说自己的浅见,即用拙著《几何与拓扑的概念导引》（高等教育出版社，2011）中的一节文字（笔者略有补充）来解释杨先生把电磁场推广到规范场的基本的几何思路。

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§6.8 自然界里的联络

　　在牛顿时代, 几何学就是物理学的重要工具. 到了20 世纪, 几何学再一次以新的姿态进入物理学的核心. (本节以下内容主要参考了[7].)

　　首先是爱因斯坦的相对论. 爱因斯坦的相对性原理要求一切物理规律在4 维时空的庞卡莱变换下保持不变, 于是“绝对时间”概念和“绝对空间”一样失去了意义. 按照这个原理, 速度, 动量, 力这些概念都必须推广到4 维情形. 由此可知, 描写电磁场的力的性质的量E 和B 也必须以4 维形式出现. 根据闵可夫斯基的研究, 若记闵可夫斯基空间为Ｍ并选择单位制, 使得光速为1, 则电磁场的强度由Ｍ上的光滑的2次微分形式

　　根据第一对麦克斯韦方程, 易知2 次形式F 是闭的, 再依庞卡莱引理, 必有1 次形式, 使得在星形开子集里成立. 这里的是电磁场的标量势,是其向量势. 显然Ａ不是唯一的, 即若θ 是光滑函数, 则

　　随着量子力学的出现, 人们对自然界的基本作用力之一的电磁场的认识更进了一步。为了突出对电磁场的描写,以下忽略微观粒子的相对论效应.

　　熟悉量子力学的读者知道，在量子力学中，微观系统的状态（量子态）由某个复希尔伯特空间中的向量代表，而物理量（可观测量）由该空间上的厄米算子代表.

　　在实际计算时，经常使用量子状态空间的一种具体的表示, 比如可用位形空间的坐标的函数空间，这在物理学中叫做量子力学的坐标表象.这时，某时刻的量子态由中的函数代表，习惯上称这个函数为系统的波函数, 可观测量就是作用在波函数上的厄米算子. 它们的物理意义如下: 在量子态中, 可观测量 的平均值是

　　量子力学认为，在没有电磁场的情形，一个非相对论粒子的动量由一组算子

代表,α ＝1,2,3 , 而它的波函数随时间的演化服从下列薛定格方程

其中m为粒子的质量,是物理常数,是系统的势能,.

　　研究表明，当带电粒子与电磁场相互作用时，方程(6.84)应由如下方程代替：

其中q 为粒子带的电量，为电磁势。与(6.84)相比，(6.85)式的变化可以这样看，即把算子分别换成了

　　现在借用一点微分几何的记号，记上式中的

则(6.85)化为

将此式与(6.84)对照，并注意到命题6.1, 人们有理由设想, 此处好象是把普通导数换成了以ω为联络形式的协变导数. 要使这个设想可行, 首先要构造一个复线丛,使得我们可以把波函数理解为该复线丛的(局部)光滑截面, 然后再考虑定义联络的问题.

　　按照上述想法, 我们还可以不限于只考虑闵氏时空Ｍ, 转而考虑一般的时空流形M . 设M 上有电磁场F , 取覆盖M 的一族坐标邻域, 其中每个上取定了势形式, 而且当时有光滑函数 ,使得

　　根据量子力学的解释, 可观测量在一个量子态的观测值就是它的平均值(6.82), 因此把波函数与任何模1 的复数相乘, 所得的函数与原来的波函数有相同的模,即代表同一个量子态. 换言之, 对于常数和方程(6.85)的解, 可以把函数看做李群作用在空间上的结果. 再联系到时间演化, 因为与都满足(6.85)式, 故U(1)的这个作用保持系统的状态不变(这在物理学中叫做整体规范变换不变性).于是诺德定理(量子力学中也有类似于5.19 的定理)暗示我们, U(1) 的李代数u (1) 中的元素应该是守恒量, 这表明，整体规范变换不变性对应于电荷守恒.

　　然而, 即便θ (t, x)不是常数, (6.82)式表明也和表示同一量子状态,(因为θ (t, x)与时空位置有关, 所以人们把这种变换叫做局部规范变换.) 但是不满足方程(6.85). 为了保留局部规范不变性, 只有对方程做相应的变换, 这就是量子力学的一条重要原理, 即外尔的规范不变性原理,我们把它写成

　　命题6.5 设函数满足薛定格方程(6.85), θ 是光滑函数, 若把(6.85)中的A换成A＋dθ , 那么满足变换后的方程.

　　证明 见文献[7]16,4c.□

　　这个命题告诉我们, 局部规范对称性的存在意味着有电磁场作用在带电粒子上, 这是理解微观粒子相互作用的数学语言. 具体地说,用命题6.5 可以做三件事.

　　第一,可以在上述的情形里, 把选做拼接函数, 构造M 上的一个结构群是U(1) 的复线丛E , 使得波函数成为它的局部截面. 于是从§6.6 知是截面被U(1) 变换到部分的表达式.

第二, 根据(6.86)式, (6.89)式可化为

对照定理6.1 中的(6.12)式, 可以说定义了E上的联络. 联络的变换导致方程(6.88)的变换.

　　第三, 因为E 的结构群是U(1) , 所以它有U(1) -主丛P , 而且确定了P上的(全局)联络形式(见上一节). 物理学家把电磁场的这种描述叫做U(1) 规范场.

　　因为u (1) 是交换的，所以上述联络ω的曲率为

这是正比于场强度F 的2 次形式，再引用比安基恒等式得

这正是第一对场方程. (第二对场方程可以从变分原理得到。)

　　杨振宁与米尔斯(R. L. Mills)把上述处理电磁场的方法发扬光大，他们于1954 年提出了所谓非阿贝尔规范场的概念，用纤维丛的话说，就是用一般（即不必是交换的）李群G 的G -主丛上的联络和曲率来描写物理上的相互作用. 这一思想开创了现代物理的新的篇章，获得极大的成功.

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参考文献

[1] H. Blaine Lawson, Jr. The Theory of Gauge Fields in Four Dimensions, By the AMS. 1985

[2] M. Kreck, 四维流形上的怪异结构，数学译林，第6 卷第1 期，1987

[3] M. Atiyah, 物理对几何的影响，数学译林，第10 卷第2 期，1991

[4] M. Hindry, 1990 年的Fields 奖章, 数学译林，第10 卷第3 期，1991

[5] K. Uhlenbeck, Instantons and Their Relatives, 数学译林，第10 卷第3期, 1991

[6] R. Schmid, Strings, Knots, and Quantum Groups: A Glimpse at three 1990 Fields Medalists. SIAM Review; 34: 3, 1992

[7] T. Frankel, The Geometry of Physics, An Introduction,2nded, 清华大学出版社，2005

[8] D. Kotschick, Gauge Theory is Dead —— Long Live Gauge Theory! Notice of the AMS March 3 1995

[9] M. Atiyah, Quantum Theory and Geometry, J. Math. Phys. Vol 36, No.11,1995

[10] 深谷贤治，规范理论与四维几何的新展开，数学译林，第15 卷第2 期，1996

[11] R. Bott, 不可征服的Morse 理论，数学译林，第15 卷第3 期，1996

[12] A. Jaffe, E. Witten, 量子YANG-MILLS 理论, 数学译林，第20 卷第2 期，2001

[13] J.M.F. Labastida and C. Lazano, Lectures on Topological Quantum FieldTheory, arXiv: hep-th/9709192

[14] 杨振宁，基本粒子及其相互作用，湖南教育出版社，1999

[15] 黄克孙，大自然的基本力，上海世纪出版集团，2009

[16] T. Gowers 主编, 普林斯顿数学指南(第二卷)，科学出版社，2014

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