原创　作者　古志鸣

　　古希腊科学兴起的标志是理性(reason)取代了神话，而理性的基本特征是追求确定不变的知识。为达此目的，历史给出的回答是要依靠逻辑(logic)。简略地说，从柏拉图的理念论到亚里士多德的《工具论》，再落实到欧几里得的《几何原本》，一幅近乎完美的逻辑学发展图景拉开了人类从事科学思维的序幕。时间虽然已经过去了两千多年，但是，只要今天我们还需要哲学和科学（含自然科学与社会科学），包括最新的信息科学，就不能不依赖逻辑。眼下有一个很流行的词叫做“底层逻辑”，我们这里想借用一下，给它加一个字：“底层是逻辑”。不论理性思维的上层多么辉煌和雄伟，底层只能是逻辑。

　　由此可知，为了学习科学，我们的一门基本功就是养成正确的逻辑思维的习惯，此话说起来容易，要形成内在的（不是外部强制的）习惯却不是一蹴而就的事情。这里我想到了两个故事。

　　第一个故事是众所周知的，即关于毕达哥拉斯学派的故事。该学派的一个著名的数学成果是严格证明了2的平方根不是有理数，但是这个结论和他们既有的观念不符，传说他们因此就千方百计地要封锁这个消息[WU]。其实，从古希腊时代到今天，哲学家，以及数学家和科学家们有一条共同的底线，在他们看来，逻辑上的不相容是根本不能接受的，这种局面被称为一个理论的危机。

另一个故事来自我自己的回忆。我第一次系统地学几何学大约在初中二年级，记得在课程刚开始的某一周里，我们班的一位同学就一道作业题与教我们平面几何课的崔老师之间发生过一次有趣的对话。我记得那道习题是要求证明：

已知平面上的直线L₁平行于直线L₂, 也平行于直线L₃. 试证明直线L₂平行于直线L₃.

　　那位同学对此题的看法是：这不是明摆着平行吗，还需要证明吗？对此，崔老师强调说，你要说出“明摆着平行”的理由啊。当时那个至今记忆犹新的场面让我们懵懵懂懂地感觉到，世上原来还有这样一种思考问题的方式。

　　现在回想起来，我们那时都是十几岁的少年，在出生后的十几年的生活和学习过程中，从来没有人明确要求我们按照逻辑的规矩证明什么东西，更不知道逻辑是什么意思。因此，一群不知道天高地厚的娃娃根本就没有把逻辑思维当一回事。后来，我们虽然逐渐习惯了在数学课堂上练习做证明题，但是仅此而已，绝大多数人并没有把这种训练融入自己的日常生活。当然，改变这个局面是一个长期的任务，它需要我们摆脱原有的思维桎梏，慢慢地改变那种不求甚解的习惯，进而养成对（别人的和自己的）各种叙事中的逻辑臭虫的高度敏感和零容忍心态。

　　1.从理论上讲，我们可以引用逻辑学名著[COP1]的几段话来对逻辑学加以概述：

　　当人们需要做出可靠判断时，理性无疑是最可信赖的工具。

　　任何严肃的智力诉求终究要依赖推理。

　　我们天生都拥有推理的能力。

　　逻辑学处理的核心问题，就是研究如何区分正确推理和错误推理的方法与原则。

　　如果用通俗的语言来说，接受逻辑训练的目的就是学会讲理，而且不要讲蛮理，当自己理亏时能够心服口服地修正错误。永远记住，理性的目标是追求真理。用柏拉图的语言说，每一匹具体的猫都有一死，只有作为理念的猫永生。

　　下面我来说说自己学习逻辑学的心得，希望得到大家的指教。

　　我的主要参考书见本文后面的参考文献[COP1,2]。

　　近代科学思想的重要特征之一是运用正确的推理方法，也就是说,首先要从大量的实验与观察的结果中概括出假说，然后还要据此假说利用逻辑或数学推理来解释原有现象和预言新的现象，这就涉及两种基本的推理方法，即演绎和归纳。

　　逻辑论证由若干命题组成。命题是指有意义的陈述, 即要求此陈述必定能被判为真或被判为假,并且不能既真又假；论证是用一套明确的法则把一列命题连接起来，以便支持最后一个命题是真的。我们把一个论证的最后一个命题叫做该论证的结论，其余的命题叫做前提。一个演绎论证(deduction)是指这样的论证，它的目标是确保在前提为真的条件下，结论一定为真；只要求在前提为真的条件下结论以某种程度的概率为真的论证叫做归纳论证(induction)。

　　2.本文是关于演绎论证的一个简短的引言，以此说明演绎论证的概貌，对演绎论证的细节问题的讨论和对归纳论证的解释留待以后介绍。

　　再重复一下，一个命题用语言来表示的时候是一个陈述句，它能被肯定，或者被否定，两者必居其一，不可能有其它情况。在前一种情形说此命题是真的，在后一种情形说它是假的。

　　用术语来说，一个命题必须、而且只能在两个真值{真，假}（简写为{T,F}）中取一个值。注意，一个命题的真值代表它与它所陈述的事实的关系，与我们能否判定无关。例如“宋代人王安石在他十九岁生日那天念了三首诗”，这是一个命题，必然只有真假两种情况之一，但是我们恐怕永远无法判定其真假。

　　日常语言中的问句、命令句、感叹句不能代表命题，它们没有真值可言。

　　演绎论证涉及的最基本的命题是直言命题。我们先来看两个例子 

　　a1 所有的矩形都是平行四边形。

　　a2 所有的水果都是哺乳动物。 

　　容易判定命题a1为真，命题a2为假。注意，这两个命题可以写成同一个形式：“所有的S都是P.”当其中的S和P用具体的名词代替后，引号里面的句子就变成一个具体的命题了。这是一种类型的直言命题的例子，逻辑学中有四种直言命题，它们的标准形式如下：

　　A) 所有的S都是P.  

　　E) 所有的S都不是P.  

　　O) 有些S不是P.  

其中S叫做主项，P叫做谓项, 统称为词项，“所有”和“有些”叫做量项，“是”和“不是”叫做质项。

　　表示直言命题类型的字母A,E,I,O是逻辑学中的约定符号，它们代表不同的量和质:

　　A和E叫做全称命题；I和O叫做特称命题。

　　A和I叫做肯定式命题；E和O叫做否定式命题。

　　在逻辑学中需要准确地说明直言命题的意义，这就需要先定义词项。为此，在逻辑学文献中引用类的概念，即符合某一组条件的对象（或成员）的全体。类的概念等同于数学中的集合的概念（详见[COP1,2]），估计大家比较习惯数学语言，下面就使用集合的语言。

　　定义一个词项的办法就是定义一个对应的集合。根据弗雷格的意义理论[MA]，表示一个集合的方法有两种，一种是直接列出该集合应该有的全部元素，这种表示叫做该集合的外延意义；另一种是指出其中的元素应该满足的条件，这种表示叫做该集合的内涵意义。对应地，词项具有两层意义，即指称（reference）和涵义（sense）。例如上述命题a1中的主项对应全体矩形的集合，这是外延意义，每一个具体的矩形都是“矩形”这个词的指称；而内涵则是矩形应该满足的几何学条件。

　　附带说一句，区别词项的指称和涵义是必要的。例如在天文学中，“晨星”和“昏星”是两个涵义，但是它们有同一个指称，就是金星。显然，说“金星是金星”是同义反复，然而知道晨星就是昏星，却是一个重要的科学发现[MA]。

　　然后再看直言命题。依据上面对词项的讨论，直言命题就是说明两个集合的元素之间的关系的陈述。如果把主项和谓项对应的集合仍记作S和P，则四种标准直言命题可写成

　　A) 集合S的每一个元素都是集合P的元素。

　　E) 集合S的每一个元素都不是集合P的元素。

　　I) 集合S的某些元素是集合P的元素。

　　O) 集合S的某些元素不是集合P的元素。

　　四种标准直言命题之间有某种逻辑关系，此处只提其中的一种关系。当主项和谓项均相同时，A和O互为否命题,它们的的关系是矛盾, 即当它们有相同的主项和相同的谓项时，这两个命题不可能同时真, 也不可能同时假；同理, E和I互为否命题, 它们的关系是矛盾。

　　3.下面谈谈演绎论证（简称为论证）的构成。最简单的论证只用一个前提，例如利用上述两对矛盾关系做直接推论。多于一个前提的论证叫做间接推论，它的基本形式是直言三段论，以下简称为三段论( syllogism)，它由三个直言命题组成。由于组成方式的不同,会产生多种不同形式的三段论,为了使叙述直观具体, 我们先考虑如下的形式：

　　(b) 大前提：所有的M都是P.

　　小前提：所有的S都是M.

　　 结论：  所有的S都是P.

其中结论的主项S叫做小项,谓项P叫做大项,在两个前提中各出现一次的M叫做中项。

　　用集合论的语言说，形式(b)的意义就是集合包含关系的传递性。因此，如果两个前提为真，则结论必然是真的。详细地说,大前提为真, 说明集合M的每一个元素都具备集合P的元素的属性;小前提为真, 说明集合S的每一个元素都具备M的元素的属性。这两者合起来,说明S的每一个元素都具备P的元素的属性，因此结论是真的。 

　　我们把(b)叫做一个三段论形式的理由是其中的三个项都是用字母S、M、P表示的，如前所述，它们可以代表任何具体的词项。如果用一组具体的词项代入这三个字母，就会得到一个具体的三段论，也可以把这个具体的论证叫做此论证形式的一个代入例。一个论证形式可以有无穷多个不同的代入例。

　　一个演绎论证形式的功能就是把一组命题（前提）转换为另一个命题（结论）,它只反映命题之间的形式关系，就是常说的逻辑关系：只要全部前提的真值确定了，结论的真值就确定了。我们把这种操作称为论证形式的一组真值指派。也许可以借用数学上的函数（或映射）的概念来帮助理解论证形式与论证的区别。一个论证形式对前提命题变换的法则相当于函数对自变量的变换法则，而论证形式的一组真值指派则相当于函数的自变量取的一个值和对应的函数值。

　　下面列举形式(b)的两个代入例。

　　b1 大前提: 所有的矩形都是平行四边形。

　　　 小前提：所有的正方形都是矩形。

　　　 结论：所有的正方形都是平行四边形。

　　b2 大前提：所有的水果都是哺乳动物。

　　　 小前提：所有的狮子都是水果。

　　　 结论：所有的狮子都是哺乳动物。

　　这两个代入例的差别是明显的，其中b1的大前提和小前提都是真的, 结论也是真的；而b2的两个前提都是假的, 结论是真的。我们来谈谈怎么理解这个重要的现象。

　　4.现在应该把对形式(b)的讨论推向一般情形。

　　各种可能的三段论形式可以这样区分：按照其中前提和结论的命题类型A,E,I,O的不同组合分为64个不同的式(mood), 每一个式中按照中项在两个前提中的不同位置分为4个不同的格(figure),合起来共有256个不同的标准三段论形式。上述的(b)只是其中一个，它的专业名称是AAA-1型三段论，传统名字是Barbara.

　　一般地说, 通过列举代入例可知(参见表格1.1. 详情见[COP2,p18-19])，三段论形式中前提的真伪和结论的真伪之间的所有可能的对应关系可以分成两大类, 这导致如下的定义： 

　　给定一个演绎论证形式, 如果它不存在全部前提都为真，而结论为假的真值指派, 则称这个论证形式是有效的(valid)。非有效的演绎论证形式叫做无效的。

表格1.1 演绎论证的有效性

　　由此可知，有效的演绎论证形式在全部前提为真时，结论必真。这说明此种命题变换必然保持真值不变，有效性就是保真性，但是对于假的前提没有要求。

　　这里也可以借用函数做比喻。一个函数虽然要对自变量做变换，但是在某些情况下，会有自变量的某个性质被保存下来了。例如函数会把负数转变成负数，也会把负数转变成正数，但是一定把正数转变成正数，这是函数的形式(即对应关系)的性质，与变量的个别值的性质无关。

　　可以证明, 在256个不同的标准三段论中只有15个是有效的。上述形式(b)是有效的，而且是唯一的结论为A型命题的有效三段论形式。

　　通过这些讨论，我们更清楚地理解了论证形式的内涵。一方面，真假是单个命题的特征；另一方面，有效性是论证形式的特征，与代入什么命题无关。“真假”与“有效”是相互独立的概念。特别对于有效的演绎论证形式来说，它有“如果前提全真，那么结论必真”的性质。注意此处的“如果…那么…”这个表述隐含了一种可能，即某个论证形式不存在前提全真的情形，这时当然不会出现“前提全真且结论为假”的真值指派，因而也认为该论证形式是有效的。

　　如果一个具体的演绎论证的形式是有效的，而且前提都是真的，则称这个论证是可靠的。例如上面的论证b1和b2都是有效的，b1是可靠的，b2不是可靠的。

　　前面说过，逻辑学的核心问题是如何区分正确推理和错误推理，现在我们可以更明确地说，演绎逻辑的基本问题是判断论证是否有效。判断有效性的方法涉及更多的概念，详见任何一部完备的逻辑学教科书，例如[COP1, 2]。我们在今后的文章中也会对此问题做初步的介绍。

　　关于演绎论证的入门级的知识暂时就说到这里吧。                

参考文献

　[COP1]柯匹, I.M.等：逻辑学导论(第15版)，张建军等译, 中国人民大学出版社,2022

　[COP2]柯匹, I.M.等：逻辑要义(第2版)，胡泽洪等译, 北京联合出版公司,2018

　[MA] 麦基,B.：大哲学家，王幸华译，九州出版社，2024

　[WU] 吴国盛：什么是科学，广东人民出版社，2016

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