原创　作者　古志鸣

　　前文已经解释了演绎论证的大意，特别给出了有效性的概念。以后在讨论归纳论证时将会提到，归纳的结果是可以逐步改善的，但是，一个演绎论证不是有效，就是无效，没有其他的可能性。因此，演绎论证的唯一目标是有效性。

　　下面我们将进一步谈谈与有效性相关的几个问题。

　　1. 第一个问题是关于直言命题的解释的事情。如果一个命题为真的必要条件是其主项存在，即主项的集合非空，则称该命题有存在含义。经典的亚里士多德解释认为，特称命题和全称命题都有存在含义；现代的布尔解释认为特称命题有存在含义，而全称命题不需要存在含义。请看下面的两个例子：

　　① 所有的独角兽都是神话中的脑门中央长着一支角,样子像马的动物。

　　② 所有没有受到外力而且处于静止或匀速直线运动的质点都会保持静止或匀速直线运动不变。

　　这两个全称命题的主项都不是实际存在的对象，按照布尔解释,这两个命题都是真命题。但是对于特称命题则不然, 例如命题“有一些狗是黄色的”,它为真的意思是说至少有一只狗是黄色的,这就是要求主项存在。

　　以后在讨论归纳论证的时候将指出，科学离不开假说，例如上面的命题②就是惯性假说。布尔解释原则承认这个假说为真，为接下来的推理提供了逻辑的保障。又如，虽然现实中不存在绝对严格的正方形，但是在数学中可以说“每一个正方形都是矩形”是真命题。

　　从学理上讲，布尔解释是使逻辑学成为一门严密的学科所必需的（详见[COP1]）。在前文已经说过，直言命题表示的是两个集合之间的完全（或部分）的包含（或排斥）关系，因此，用集合论的语言叙述布尔解释会显得特别清晰。此处的关键是引入空集的概念。允许全称命题的主项不存在就是允许对应的集合没有任何元素。根据弗雷格的理论，有涵义没有指称的词项是存在的，因此承认空集，即一个没有任何元素的集合存在,记为。于是,四种标准的直言命题可以写成如下的四个式子,其中表示的补集，表示集合的交运算:

　　　（逻辑学家用0表示空集,用表示的补集，用表示交运算。）

　　这四个式子在逻辑学文献中叫做直言命题的符号表示。还有一种严格表示直言命题的办法，就是把一个直言命题转换为复合命题，这是现代逻辑学的方法，对此我们不打算详谈，也许在后面的适当时机会顺便提到。

　　布尔解释在上述符号表示中的意义如下：根据交集运算的定义,在两种特称命题的表达式I和O中,显然Ｓ不能是空集；而在全称命题情形A和E中则没有这个限制,因为空集与任何集合的交集是空集。

　　按照科学的一般特征，科学定律都是一种假说，而且是全称命题，其主项集合Ｓ是假设的，在这个主项高度抽象的情形，它就是一个只有涵义（例如“不受外力”）没有指称（例如“惯性系”）的词项。联想到前文所说的区别涵义和指称的重要性，这里的没有任何元素的集合似乎“脱离实际”，但是只有这样才会得到显然的、而且是高度普适的命题，即空集Ｓ与任何集合的交集是空集。这是藏在科学后面的逻辑支撑。例如惯性定律就是物理学中最基本的假设，它具有极高的原创性和普适性。另一个例子是集合论本身，它的出发点就是一个空集，然后无中生有，从这个空集出发可以造出任何的集合[EN]。

　　在前文中，我们提到了四种标准直言命题之间的逻辑关系，而且说可以利用这个关系做直接推论。当时只提到直言命题之间的矛盾关系，其原因是矛盾关系不受解释原则的影响。其它可能的关系在传统解释下成立，但是会被布尔解释禁止。例如，按照传统解释，在主项和谓项相同时，命题A真显然蕴涵命题I 真，但是，按照布尔解释，因为命题A没有存在含义，而命题I 有存在含义，所以这个蕴涵关系不成立。在逻辑学中，人们把四种标准直言命题之间的逻辑关系排成一个方阵，叫做对当方阵，两种不同的解释原则导致两种不同的对当方阵（详见[COP1,2]）。

　　利用上述四种集合关系式(即直言命题的符号表示)容易证明：在主项和谓项相同时，A蕴涵I当且仅当S非空,当且仅当E蕴涵O.

　　根据对当方阵做的直接推论是有效的。以后在讨论有效性的时候，都采用布尔解释原则。

　　2. 除了用矛盾关系做直接推论，还有另外三种直接推论的方法，其原理就是把一个直言命题转换为一个与它逻辑等价的直言命题，说两个命题是逻辑等价的意思是它们恒有相同的真值。下面我们用直言命题的符号表示来解释这些转换的大意。

　　第一种是换位。根据交运算的交换律，恒成立，因此E命题“所有的Ｓ都不是Ｐ”与“所有的Ｐ都不是Ｓ”逻辑等价，这种转换叫做换位。同理，I命题换位后保持真值不变。在四种标准直言命题中，只有这两种换位是有效的，其它两种命题的换位是无效的。

　　第二种叫做换质，它对全部四种标准直言命题有效。这里要用补运算的性质，我们以O命题为例。因为中的可以解释为新的谓项，所以“有些Ｓ不是Ｐ”与“有些Ｓ是非Ｐ”逻辑等价。

　　第三种叫做换质位，它只对A命题和O命题有效。例如恒成立，所以A命题“所有的Ｓ都是Ｐ”与“所有的非Ｐ都不是Ｓ”逻辑等价

　　3. 现在来看第二个问题，就是如何判定三段论的有效性。此处先说说用文恩(Venn)图的判定法，这个方法的基础是直言命题的文恩图。

　　上述四种标准直言命题的符号表示显然可以用图形来表示，即把一个关系式中的两个集合及它们之间的关系用平面上的图形表示，这个图叫做对应的直言命题的文恩图。

　　文恩图的总的构造原则是：在平面上用曲线围成的任何一个区域都可以代表某一个集合，如果这个集合是空集，则把这个区域用阴影填充；如果这个集合不是空集，则在这个区域中标一个字符x.   

具体到直言命题的文恩图，总的轮廓是两个相交于两点的圆周，其中左边的圆周内部代表主项Ｓ，右边的圆周内部代表谓项Ｐ，并形成三个代表交集的区域,,.（见下图）

　　为了表示一个具体的直言命题，再把相应的交集区域用阴影填充（全称命题），或标以字符x（特称命题）：

　　对于A和E型命题，须分别把和用阴影填充。

　　对于I和O型命题，须分别在和中标以字符x.

　　例如，A命题的文恩图见下左图，I命题的文恩图见下右图。

　　4. 利用直言命题的文恩图可以检验三段论的有效性，方法如下：对于一个给定的三段论，用三个两两相交的圆周分别表示它的小项、中项和大项，然后根据两个前提的命题类型画出两个直言命题的文恩图，并注意，当两个前提中有一个全称命题和一个特称命题的时候，要先画出全称命题。最后考虑这两个图组合成的图，如果能从中自动地得到原结论的文恩图，则这个三段论是有效的；否则是无效的。

　　例如，图1.3是对三段论AAA-1的有效性的检验结果。当两个前提的文恩图画好之后，立即看到Ｓ的无阴影部分完全位于Ｐ之内，这正是结论的文恩图，因此这个形式的三段论是有效的。

再如AAA-2型三段论，即

　　　大前提：所有的Ｐ都是Ｍ. 

　　　小前提：所有的Ｓ都是Ｍ. 

　　　结论：  所有的Ｓ都是Ｐ.

用文恩图表示上述两个前提之后，它的结论图无法自动产生，因此这是一种无效的三段论。其它类型（尤其是含有特称命题的情形）的检验可参见[COP1,2]。

　　从上面的检验原理可以看到，在有效的三段论中，结论的文恩图在是画出两个前提的文恩图之后不需任何附加条件就会自动出现的，因此结论涉及的内容不会超出两个前提的内容。更一般地说，如果一个有效的演绎论证的前提是相容的（或者叫做一致的，即不包含两个互相矛盾的命题），那么结论涉及的内容不会超出前提所断言的内容。既然如此，就不会出现前提全真而结论为假的情况了。[COP2,p99,192]

　　5. 除了用文恩图检验三段论的有效性，还可以列出有效的三段论必须遵守的规则，以便用来检验有效性。

　　为了叙述这些规则，我们需要考察直言命题中的词项的周延性(distribution)。一个直言命题中的一个词项周延的意思是该命题涉及了这个词项的全部外延。

　　例如E命题“没有苹果是哺乳动物”，意指所有的苹果都不是任何的哺乳动物，因此该命题的主项和谓项都是周延的。又如A命题“所有的苹果是水果”，意指所有的苹果都是水果中的一种，因此该命题的主项周延，谓项不周延。仿此可以断定I命题的主项和谓项都不是周延的；O命题的主项不周延，谓项周延。

　　还可以用集合的语言来理解周延的意义。此处特别应该注意A型命题，这里表示Ｓ是Ｐ的一个子集合，但是这并不排斥Ｐ中有不属于Ｓ的元素，即谓项不周延，因此就不能说“所有的Ｐ都是Ｓ”. 换言之，A型命题的换位无效。同理，O型命题的换位无效。事实上，一个命题换位有效当且仅当它的主项和谓项有相同的周延性。

　　6. 判定一个直言三段论是否有效的规则如下所列，只有当这六条要求全部达到才能断言此三段论是有效的，否则是无效的。

　　s1 恰好包含三个项; 

　　s2 中项必须至少周延一次; 

　　s3 如果一个项在结论中周延, 则它在相应的前提中也必须周延; 

　　s4 两个前提不能都是否定式的; 

　　s5 如果有一个前提是否定式的, 则结论必是否定式的;

　　s6 从两个全称的前提不能得出特殊的结论。

　　常见的逻辑学教科书会有专门的章节讨论演绎论证的谬误，其中包括两大类谬误，分别叫做形式谬误和非形式谬误。所谓形式谬误，就是指违反了上述规则的无效论证。非形式谬误出现在日常语言的运用中。

　　下面仅列出三个例子来说明形式谬误是如何发生的，详细的分析见[COP1.2].

　　违反规则s2的例子如下: 

　　所有的正方形都是多边形, 所有的五边形都是多边形, 因此, 所有的正方形都是五边形。

这里的中项“多边形”在两个前提中均不周延, 所以该论证无效。很显然，如果这里的小前提的换位命题真，则结论真。但是，如第5段所说，A型命题的换位命题不真。

　　违反规则s4的例子如下:

　　任何狗都不是绿色植物, 这匹猫也不是绿色植物, 因此这匹猫是狗。

这里的两个前提都是否定式，故论证无效。其中的理由是：两个否定式前提分别排除了中项与大项及中项与小项之间的包含关系，这导致小项与大项无法通过中项建立确定的关系。

　　违反规则s6的例子(见[RU, p252])如下:

　　所有的金山都是山, 所有的金山都是纯金的, 因此有些山是纯金的。

此例的两个前提都是全称命题, 根据布尔解释, 它们为真并不要求金山存在, 但是这里的结论是特称命题, 它为真却要求金山存在。这就是规则s6要防止的错误。用集合的语言说，该例试图从包含关系和推出. 这里缺失的条件是.

　　按照我的体会，就演绎论证的有效性这个重要方面来说，以上内容是如今一个大学本科（不论什么专业）的毕业生应该具备的基本知识。当然，逻辑学专家们会用更有力的工具来研究有效性问题，那就是考虑一百多年前创立的现代符号逻辑，即用符号语言叙述的命题逻辑和更加精密的谓词逻辑（量化理论）。如果以后遇到适当的机会，笔者也许会进一步班门弄斧，尝试理解那些现代逻辑知识。

参考文献

　[COP1] 柯匹, I.M.等：逻辑学导论(第15版)，张建军等译, 中国人民大学出版社,2022

　[COP2] 柯匹, I.M.等：逻辑要义(第2版)，胡泽洪等译, 北京联合出版公司,2018

　[EN] Enderton, H. B.: Elements of Set Theory, Academic Press.1977

　[RU] 罗素,B.: 西方哲学史 (上卷), 何兆武,李约瑟 译，商务印书馆,1963

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