原创 作者 古志鸣

　　我们已经用两篇稿子介绍了演绎逻辑的初级知识，本文打算以跳跃的方式，因而也是更加粗略的方式聊几个稍带现代味道的逻辑话题。当然，限于笔者的水平，我们只能选择自以为有把握的内容来谈论，于是也就谈不上什么系统性了。

　　1.第一个话题是对复合命题的三段论的讨论。前两文的主题是直言三段论（那里为了说话方便，简称为“三段论”），现在要把命题的范围扩大到复合命题，这一部分内容属于命题逻辑学[COP1,2]，基本思路是把一个命题分解为若干简单命题(例如直言命题)的组合。

　　具体做法大致如下：把由几个命题通过逻辑连词（定义见下面）组合起来的命题叫做复合命题，其中参与复合的那些命题叫做该复合命题的分支命题，复合命题的真值由它的分支命题的真值及逻辑连词唯一决定。

　　为了形式地描述，我们把一组命题形式用一组小写字母p,q,…表示。类似于直言三段论中把词项S,M,P当作变元,可以把这里的命题形式p,q,…当作变元，并把这些变元通过逻辑连词组合起来的命题形式叫做这些变元的一个真值函项（也称布尔组合）。如果一个命题p只能表示为它自身的真值函项，即p=p，则称它是一个简单命题，否则叫做复合命题。逻辑连词的定义如下。

　　否定：p的否命题记作~p(或﹁ p,也叫做非运算),它的真值与p的真值恰好相反。

　　析取：p与q的析取(也叫做或运算)是一个命题形式，记作p∨q,其意义是：p与q两者至少有一个为真时p∨q为真,否则p∨q为假。

　　合取：p与q的合取(也叫做与运算)是一个命题形式，记作p∧q(或p·q),其意义是：p与q两者均为真时p∧q为真,否则p∧q为假。

　　实质蕴涵:命题形式p→q(即条件句“如果p那么q”,或记作pq)在p真q假时为假，其余情形均为真。

　　实质等值：命题形式pq(即双条件句,或记作p≡q)为真当且仅当（p→q）∧（q→p）为真。

　　显然，这些定义式都是真值函项，根据它们的定义可以立即写出其真值表。注意这些名词都是逻辑学的专门术语，有明确的真值表，不要与日常语言相混。

　　例如p→q的真值被p和q的真值唯一确定，即有逻辑的必然性。事实上，利用真值表能够证明，下面三个真值函项彼此是逻辑等价的（参见[COP1,p375]）：p→q, ~(p∧~q), ~p∨q　

　　回到一般真值函项的定义，它的真值由它的诸变元的真值及逻辑连词唯一决定，这种通过形式确定真假的性质就是逻辑必然性。

　　但是，在日常语言中有很多条件句的真假不能从形式上判断。例如下面的条件句表达的是因果性

　　如果把生石灰倒进水里，那么就会产生气泡。

　　再如，下面这一类条件句的真假也没有逻辑必然性：

　　如果下个月我能加薪，那么我要买一台新电脑。

　　有一种真值函项，它的真值恒为真，即不受其分支的真值影响，我们称它为重言式；反之，把真值恒为假的真值函项称为矛盾式。例如,对单个命题的要求是可以而且只能被判定为真或假,不能既真又假。用上面提供的语言,可以写出,对任何命题p,必有重言式及矛盾式p→q恒真，p∨(~p)恒真；p∧(~p)恒假

这三个真值函项有时被称为思维三原则，即同一律、排中律、不矛盾律。

　　对于涉及复合命题的论证，可以从前提和结论的真值指派出发分析论证的有效性，例如下面是常见的基本的有效论证形式：

　　va1.（析取三段论）前提p∨q,~p，结论q.

　　va2.（肯定前件式）前提p→q,p,结论q.

　　va3.（否定后件式）前提p→q,~q,结论~p.

　　va4.（假言三段论）前提p→q,q→r,结论p→r.

关于无效论证的情况见[COP1,2].

　　2.下面来看一个简单的应用。我们已经说过，在一个演绎论证中，前提必须是一致的，即前提中不能有互相矛盾的命题。为了解释这个条件的重要性，我们来证明

　　§0: 具有互相矛盾的前提的演绎论证形式是有效的,而且必然可以证明任何一个命题。

　　这两句话的证明如下：首先,因为前提是互相矛盾的，即不可能出现前提都是真的情况，显然就更不可能出现“前提都是真，结论假”的情况，所以此论证有效。然后，设某个论证形式的前提蕴涵命题r，也蕴涵~r.如果s是任给的一个命题,则从r得命题r∨s，再从~r及析取三段论va1推出s.(见[COP2,p192])

　　现在可以把上一篇文章提到的分析性质重申如下：

　．§1: 有效的演绎论证在前提一致时，其结论不会超出前提所断言的内容。

　　3.上面第一小节的思想可以借用来分析单个直言命题的结构，其详情属于另一个现代逻辑学内容，即谓词逻辑，本文不再涉及，只把四种标准直言命题的对应形式列在下面,这有利于进一步理解布尔解释。

　　先写出两个词项的内涵定义：S=｛ x | Ux ｝，P=｛ y | Hy ｝，然后有

　　A 对于所有的x，Ux→Hx.

　　E 对于所有的x，Ux→(~Hx).

　　I 存在x，Ux∧Hx.

　　O 存在x，Ux∧(~Hx).

　　容易验证，这些表示与前文所说的直言命题的符号表示等价，因为它们就是两个集合之间的关系的内涵写法。

　　这里要特别注意与布尔解释的联系。如上所列，全称命题可以用条件句来构造，以A型命题为例，根据条件句p→q的定义，当Ux为假时，Ux→Hx对任何Hx为真。这实际上是集合关系的内涵表述，即“空集是任何集合P的子集”。这与直言命题的布尔解释一致。

　　关于对条件句如此定义（或者说对布尔解释）的进一步理解，可参阅[COP2,p74]。这里仅从科学思维的角度谈谈我们的进一步理解。前文已经说过，一个科学定律的主项是高度抽象的概念，因此由一个空集表示。现在还要指出，这个抽象概念必须满足某个理想化的性质，因而实际上不存在严格的对应物，换言之，这里的空集代表的是一个有内涵（指那个理想化的性质）但是没有指称的词项。例如下面的复合命题：

　　如果一个质点没有受到外力而且处于静止或匀速直线运动，那么它会保持静止或匀速直线运动不变。

其中符合条件的质点实际上不存在，但是可以将整个命题用内涵表述，并规定其为真。

　　如果把p→q的定义换成其逻辑等价物~(p∧~q)或~p∨q，上面这段话也许会自然一些。

　　以上三小节文字的内容是从现代逻辑学中摘来的一鳞半爪，后者主要是弗雷格（代表作为《算术基础》1893-1903）、罗素和怀特海（合著《数学原理》1910-1913）创建的。

　　4.现在聊第二个话题。早在古希腊时代，人们就开始考虑用逻辑思想指导系统的科学理论的建立。逻辑学的开山鼻祖亚里士多德在其名著《形而上学》中指出“事物既不可能有无尽列的原因，原因也不能有无尽数的种类。”(994a1)“一切事物悉加证明是不可能的”(1006a6)，因此需要利用若干不证自明的命题作为原始的前提。

“首先注意到自明的东西然后再运用演绎法，就好像是可能发现实际世界中一切事物了。这种观点影响了柏拉图和康德以及他们两人之间的大部分的哲学家。”也影响了后世的神学,物理学,甚至经济学和政治学[RU,p45]。

这些思想的产物就是公理化方法。人类历史上最早出现的系统地严格使用演绎逻辑的著作是欧几里得的《原本》,它开辟了后世建立数学及科学理论体系的道路，例如牛顿的巨著《自然哲学的数学原理》就是用公理化方法写的。

　　一门学科的公理体系包括两个方面的内容，即概念和命题。其中的概念分为两种：初始概念和导出概念；命题也分为两种：初始命题和导出命题。

　　初始概念就是无须定义的概念（例如点，线），导出概念是用初始概念通过定义得到的概念（例如线段，三角形）。初始命题通常叫做公理(axiom)或公设(hypothesis)，它们是自明的，无须证明的。从公理出发，通过证明得到的命题就是导出命题（即定理）。这里所说的证明(proof)是指在前提为真的情况下用有效的演绎形式做的论证。

　　如前述亚里士多德的精神，“初始概念无须定义”和“初始命题无须证明”这两件事是纯粹的演绎论证所必需的条件。换句话说，在一门完整的学科体系表述中，第一个出现的概念显然无法定义，第一个出现的前提必然无法被证明。

　　这里说的“自明的命题”,是指在演绎论证时对该命题的真不再质疑,但是并非说该命题一定是“不言而喻”或“显而易见”的意思,因为有很多基本的科学假说,因为其高度的抽象性,还不是显而易见的（例如惯性定律）。

　　5.《原本》的第一卷首先列出了23条基本定义(包括点,直线,平面,角,三角形,四边形,平行直线,等),紧接着是五条公设:

　　　1.从任意一点到任意一点可做一直线。

　　　2.直线段可以无限延长。

　　　3.以任意中心和直径可以画圆。

　　　4.凡直角都彼此相等。

　　　5.若一直线与两直线相交,同旁内角之和小于两直角的和,则后两条直线在这一侧相交。

　　然后是五条公理：

　　　1.等于同量的量彼此相等。

　　　2.等量加等量，其和相等。

　　　3.等量减等量，其差相等。

　　　4.彼此重合的东西彼此相等。

　　　5.整体大于部分。[EU,p1-7]

　　第5公设后来被如下的等价形式替换：

　　平行公设　过已知直线外一点可以做一条，而且仅能做一条直线，使它与已知直线平行。

　　利用平行公设，可以证明下面的重要结论(见[EU]第一卷命题32)：

图1　三角形内角和定理的证明

　　定理　三角形的三个内角的和等于两个直角。

　　证明　考虑三角形△ABC，由平行公设,过点A可以做唯一的直线AD,使它平行于直线BC.于是由平行线的性质知∠CBA+∠BAC+∠CAD等于两个直角.再由平行线的性质知∠ACB=∠CAD,所以∠CBA+∠BAC+∠A等于两个直角(见图1)。[证毕]

　　6.下面两个小节的话题可能有点深，但是有几位学术大家认为这是关系着AI的基本思想的问题，因此值得聊几句。

　　先说几句可能不是闲话的话。从古希腊时代到现代，以逻辑为底层框架的科学、数学及哲学这三门学问的发展轨迹总是交织在一起的，常常是“你中有我，我中有你”。一个受过正规教育的现代人在面对这种局面时可能觉得很惊讶，但是不会觉得荒唐，这也许就是他的科学素养的内在表现。基于这种信念，我们可以转入正题了。

　　当微积分在十七世纪被牛顿和莱布尼兹发明之后，一直受到一批数学家和哲学家对其逻辑基础的质疑，这就是古希腊发现无理数之后的第二次数学危机。为了摆脱这个危机所做的努力在十九世纪后期终成正果（详见[LI]）。在建立微积分的逻辑基础的过程中，由康托于1879-1884年间主导创立的集合论发挥了非常重要的作用，而且成为二十世纪纯数学进一步抽象化的主要特征之一。人们开始认识到，集合是整个纯数学的基本语言。按照最彻底的元数学(meta-mathematics)的说法，每一个数学对象都是一个集合，每一个数学命题都是关于集合的命题。二十世纪数学抽象化的另一主要特征与集合论紧密相关，即纯数学的各学科都相继用公理化方法建立起来了。这两方面的演进过程引出了许多故事，这里只简单地谈谈与逻辑有关的事。

　　前文提到的弗雷格的工作是设法用集合表示数，并用符号逻辑语言表述算术（研究整数的运算性质的学科，即数论）的内容[PE]，这时就会涉及集合论本身的基础问题。具体地说，集合论本身的基本语言是符号逻辑语言附加元素与集合之间的属于关系。罗素最早发现了弗雷格的工作的重要意义，但是他也注意到用内涵定义集合的方法必须与属于关系协调。他于1901年在给弗雷格的一封信中提出了一个令人尴尬的问题[MA,p410]。许多常见的集合都有如下的性质

=不以自身为元素

于是引用弗雷格的定义方式，可以考虑一个“全体具有性质的集合组成的集合”,我们暂时把它记作.现在如果问是不是属于,答案会是什么呢?

　　若回答“是”,则与性质矛盾,所以应该回答“不是”;

　　若回答“不是”,则它有性质,所以应该回答“是”。

　　形式地写出来是：记，则有实质等值.这就是著名的罗素悖论(俗称为理发师悖论)，此事使数学界大吃一惊，弗雷格为此被迫改变了写作计划。因为这个悖论使得早期的集合论失去了一致性，所以很快就有数学家着手建立集合论的公理体系，以排除这一类悖论。第一个这样的公理体系由策默罗于1908年提出，经弗兰克尔和冯·诺意曼等人完善后成为目前普遍接受的体系，名为ZFC体系[BA]。

　　从ZFC体系出发，可以构造一个数学结构，使它满足该体系的全部公理，这就是该体系的模型[BA]。粗略地说，就是用前文提到的无中生有的思想，构造一个包括全体集合的冯·诺意曼宇宙，使得全部ZFC公理在其中被满足。这个模型把所有的集合分成不同的层次，属于关系∈不能用于相同的层次中。这样一来，像A∈A这样的式子就不会出现了。

　　7.事情到这里还没有完，接下来发生的事是另一出大戏。

　　再回到几何学。历史上总有一些人希望把欧几里得的公理体系中的平行公设降格为一个定理，也就是想用其余公设来证明平行公设，结果都不成功，这就使人们猜想到平行公设在欧几里得体系中不可证明，因此可以用其它的公理替代它而不影响整个体系的自洽性。这一运动的结果就是在十九世纪早期出现了非欧几何学。从另一方面说，为了避免日常语言的误导，原始的欧几里得公理体系的表述应该改进，这方面最成功的工作是希尔伯特在1899年发表的《几何基础》，在其中提出了更加精密的几何学公理体系，要点是通过初始命题（公理或公设）来界定初始概念。此外，希尔伯特还提出了一般公理体系必须满足的基本条件：

　　一致性(即相容性,自洽性,无矛盾性)：从公理出发不能导出互相矛盾命题偶。

　　独立性：体系中的每一条公理不能从其余公理演绎地导出。

　　完全性：体系中的每一个命题都能在该体系内判定，即能证明它或其否命题真。

　　就一致性来说，到目前为止，我们还不能证明ZFC体系的一致性，也就是说，我们还不能保证这个体系中不会出现其它的悖论。

　　还有完全性问题。我们在前面已经指出，在有效的演绎论证中，前提有两种情况：如果前提不一致，则可以证明任何的命题；如果前提一致，则结论不会超出前提的内涵。在后一种情况还可以问，是否能够推出前提的全部内涵，这就是完全性问题。

　　希尔伯特面对上述罗素和怀特海的成果提出一个挑战,即严格证明《数学原理》或类似的体系（即包含数论体系的公理体系）是一致的和完全的,而且还希望这些证明要在该体系内完成。

　　在1931年，25岁的哥德尔指出上述希望是无法实现的,他发表的论文证明了：没有一个包含数论体系的公理体系可以产生所有的数论真理(不完全性)，除非它是一个不一致的体系。详细地说，任何一个包含数论体系的一致的公理体系中至少有一个命题及其否命题无法被证明，然而这两个命题中必有一个是真命题，因此该体系中必有无法证明的真命题，命题的真与可证明是两个不同的概念。不完全性的证明的关键一步是利用了类似罗素悖论那样的一个“怪圈”(参见[YA,p372])。另外，哥德尔还证明了：一个包含数论体系的公理体系的一致性在该体系里是不可判定的。这就是两个著名的哥德尔不完全定理。（详见[HO]）

　　随后,图灵在1936年发现哥德尔定理在计算机理论中有其对应物.即对众所周知的“停机问题”给出了否定的答案(参见[PE])。

　　为了使读者更直观地理解不完全定理,文献[HO,p112]提出了一个很形象的比喻:“对任何一个唱机,都有它不能播放的唱片,因为后者会导致前者的间接自摧毁。”

　　哥德尔不完全定理与人工智能技术之间有复杂而又基本的关系,这涉及几种有代表性的观点。例如,最有影响力的两部名著[PE]和[HO]都用了大量的篇幅讨论AI的哲学基础，这两位作者（前者是诺奖得主，后者之父是诺奖得主）的观点不同，但是都把哥德尔不完全定理当作他们讨论的基本出发点。

　　最后，我们回到本文的标题。这个标题正是笔者在上一篇文章所说的班门弄斧之意。笔者认为，在青少年中开展科学教育的主要目的不是普及科学知识，而是普及科学思想和科学方法。为此，就应该激发青少年的科学兴趣，启发他们的思维，并且能长期持续下去。我们作为教师必须知道，科学知识的获得需要长期的努力，别指望读几页普及材料就能理解相对论、量子力学、指标定理。作为二十世纪十大数学成果之首的哥德尔不完全定理[LI]，绝不是大学有关专业的本科生能够轻易掌握的。对于外行人（例如笔者）来说，真正能读懂像[PE]和[HO]这样的普及著作就已经可以稍稍显摆一下了，如果还想严格叙述哥德尔不完全定理的现代形式,则需要把公理化方法进一步一般化，即运用模型论的语言来表述（详情可参见为非专业人士写的读物[MAR]）。

参考文献

[BA]Bagaria,J:集合理论，见《普林斯顿数学指南（第二卷）》齐民友 译，科学出版社，2014

[COP1]柯匹,I.M.等：逻辑学导论(第15版)，张建军等 译,中国人民大学出版社,2022

[COP2]柯匹,I.M.等：逻辑要义(第2版)，胡泽洪等 译,北京联合出版公司,2018

[EU]欧几里得：几何原本，张卜天 译,商务印书馆,2020

[HO]侯世达(Hofstadter,D.R.)：哥德尔,艾舍尔,巴赫——集异璧之大成，本书翻译组 译,商务印书馆,2017

[LI]李文林:数学史概论(第二版),高等教育出版社,2002

[MA]麦基,B.编:大哲学家，王幸华 译，九州出版社，2024

[MAR]Marker,D:逻辑和模型理论，见《普林斯顿数学指南（第二卷）》齐民友 译，科学出版社，2014

[PE]彭罗斯,R.:皇帝新脑，许明贤,吴忠超 译,湖南科学技术出版社,1996

[RU]罗素,B.:西方哲学史(上卷),何兆武,李约瑟 译，商务印书馆,1963

[YA]亚诺夫斯基,N.S.:理性的边界，王晨 译，人民邮电出版社,2023

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CIP核准号:　2024092649

出版单位:　湖南科学技术出版社

ISBN:　978-7-5710-2897-8

作者:　古志鸣，王向东，王永丹编著

本书讨论了基础教育阶段的科学教育的若干主题，其中包括对科学课程及任课教师科学素养的讨论和评测学生成绩的原则性建议。书中从不同的角度论述了对科学精神的理解和科学课应该采用探究式教学的根据。本书既注重对科学教育的基础性解释，又有比较具体的操作性解释，可作为帮助广大中小学科学教师提升科学素养和教学技能的读物，也适合对科学和科学教育有兴趣的读者参考。

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