原创 作者 古志鸣

　　我们在前三节中概述了演绎逻辑的基本原理，从中可以看到，一个可靠的演绎论证需要两个条件，即论证的形式必须有效，还要求前提必须全是真命题。用公理化的语言来说，我们必须有几条不证自明的公理作为演绎论证的大前提，这些公理在科学中就是定律，于是，如何得到科学定律就是一个带有根本性的问题了。

　　前文曾多次提到演绎论证的分析性，它的内涵包括两个方面：有效的论证一定保真，但是在前提相容时不能得到超出前提的新知识。因此，为了得到新的知识，就必须另想办法，这就是下面要谈的话题，其中包括两种基本的归纳论证，即枚举归纳法和类比法。

　　归纳论证是一个宏大的题目，笔者没有系统讨论它的能力，但是有一些必要的铺垫的话还是应该先说几句。

　　人类文明的历史表明，科学的思想源于哲学，而哲学又是一门开放的学问，就是这种开放性，使得人类获得了永无止境的思维源泉。如果笔者没有搞错，本文的主题难免会涉及哲学问题，至于文中的理解是否妥当，只有请方家来鉴定了。

　　具体地说，我们这里要借用两个术语：“分析”与“综合”，它们来自哲学。最早提出这两个概念的人是哲学家莱布尼茨（没错，就是那个“牛顿-莱布尼茨公式”中的数学家）[MA2]，然后，休谟和康德就此理论展开了详细的讨论。近代的科学进步催生了一个重要的哲学学派，就是逻辑实证主义，他们认为[COPL][MA1]，命题必须是有意义的陈述，因此才有真假之分，而有意义的陈述可以分成两大类，就是分析命题和综合命题。

　　1.如前所述，演绎逻辑的任务不是判断某个具体命题的实际真伪。在实际应用演绎论证时，例如在科学中，因为我们的目的是做具体的论证，所以人们必须知道一个具体命题是否为真，这个要求是不能像逻辑学那样人为安排的，必须是确定的。

　　从科学的角度看命题的真伪问题导致两种不同的情况。在科学中，定律都是全称命题，如果通过分析一个全称陈述的主项和谓项的定义之间的关系就能确定其真假，则称它为分析命题。如果一个全称陈述的真假必须由经验判断，则称它是综合命题。

　　我们来看两个例子。

　　Pr 1)每一个正方形都是平行四边形。

　　Pr 2)所有的天鹅的羽毛都是白色的。

　　根据几何学的定义，可断定Pr 1是真的，并且是分析命题。这样的命题有一个特征，就是它的否命题“有一些正方形不是平行四边形”自相矛盾。由此可以看到分析命题的基本特征：一方面，根据定义，谓项“平行四边形”的属性均为主项“正方形”所具备，这说明命题Pr 1的真是由其主项和谓项的定义之间的关系保证的，任何经验都无法驳倒它。另一方面，命题Pr 1没有提供关于主项的额外知识，即分析命题的空洞性。

　　文献[MA1]对分析命题的解释很形象：无须离开你的座椅，只需通过分析陈述自身即能确定其真假的命题，就是分析命题。该文献还指出，所有的定义，所有的逻辑陈述与数学陈述，连同所有根据约定才有效的陈述（如游戏规则或类似纹章学领域中的陈述），都是分析命题[MA1,p37]。

　　按照前述的规定，我们来看上面例子中的命题Pr 2.在生物学中对生物分类的原则是找出一个物种的生理结构特征。天鹅的生理特征不涉及羽毛的颜色，于是命题Pr 2之真伪不能靠分析定义来确定，要凭观察来确定，因此它是综合命题。综合命题的谓项中有主项不具备的属性，对综合命题的真伪判断必须要通过观察或实验才能做出。这两条性质是综合命题的基本特征。因为判断分析命题的真伪不需要经验，所以也说它是先天（或先验）的命题，它的真伪具有必然性；相应地，把综合命题叫做后天（或经验）的命题，它的真伪没有必然性。

　　在科学中，定律都是全称肯定型综合命题，当我们要否定这个命题时，应该用另一个全称肯定型综合命题来替代它，例如要质疑命题Pr 2，可以换用命题“所有的天鹅的羽毛都是白色的或黑色的。”它并不自相矛盾。

　　因为综合命题的真不能用演绎法证明，只能用经验证实，所以如果在某个演绎论证的前提中包含一个综合命题H，就有两种情况：一种是要通过此论证来验证H（以后会解释）；另一种是承认H已被证实，要视它为定律。这两种情况都应该理解为假设H为真。下面为了叙述方便，我们有时也把可被证实的综合命题叫做可信的命题。

　　2.我们用一个著名例子来说明归纳论证的一般特征。

　　i⑴ 迄今为止我们所有见过的天鹅的羽毛都是白色的，因此自然界所有的天鹅的羽毛都是白色的。

　　这种论证叫做枚举归纳论证，它的基本形式是：

　　(i1)迄今为止所有检验过的x都是y,因此所有的x都是y.

　　或者表述为：

　　如果已知集合X中有某些元素具有属性Q,则X中的每个元素均具有属性Q.

　　这种推理的特征是通过对已知经验（集合X中有某些元素有属性Q）进行概括（即generalization，也译作普遍化，一般化）得到结论（X中的每个元素均有属性Q）。很显然，这里的结论已经超出了已经检验过的事实（可称之为归纳的依据）的范围，或者说，这里的结论是综合命题，这是归纳论证的基本特征。综合命题不能用演绎论证证明，为归纳的结论作辩护的唯一方法是用事实检验该结论，一旦发现不符合该结论的事实（即所谓的“黑天鹅事件”），则必须修改甚至放弃这个结论。这就是归纳论证的综合性，它为获取新知识付出的代价是结论可能不真的风险，换言之，归纳论证的结论的真值应该在概率意义下理解。

　　与演绎论证对应地,科学界通常把归纳的结论叫做假说（hypothesis，也译作公设）；或猜想（conjecture）,对假说的检验叫做验证或证实（examine,verify），这包括倒推和预言，前者是用该假说解释归纳依据的既有事实，后者是发现该假说蕴涵的新的事实。被多次独立证实的假说叫做定律（law）。科学界相信，归纳法是唯一可能产生新知识的途径。

　　数学家波利亚在[POLb,p3]中给出了基本归纳模式的一种形式化表述：

　　(i2)设命题H蕴含命题B,如果B真，则H可信。

　　从(i2)显然可以推出(i1)；具体地说，

　　(i1)中的“集合X中有某些元素具有属性Q”相当于(i2)中的命题B;

　　(i1)中的“集合X中的每个元素均有属性Q”相当于(i2)中的命题H.

　　在科学研究中，命题B代表实验（或观察）的事实，包括原始事实和后来用假说预言的事实，命题H就是要找的假说。特别提醒一下，这里的“事实”是以命题的形式出现的，即(i1)中的“集合X中有某些元素具有属性Q”，也就是(i2)中的命题B,我们可以把它称为观察命题。既然这样，在实验（或观察）之后构造观察命题的时候，需要有适当的概念和做出判断的依据。于是，观察命题能不能真实地反映实验（或观察）的事实，也是科学研究中必须注意的问题。

　　3.为了使得归纳论证正确地进行，要注意假说应该满足如下的基本条件：

　　假说不能是该假说所基于的观察命题的同义反复，即(i2)中的H与B不是等价的命题；

　　假说必须没有歧义；

　　假说必须是一致的，否则接下来的检验是不可靠的；

　　假说和基于它的预言必须是精确的，这是因为，从假说到基于它的预言的推理是演绎。

　　很显然，归纳论证(i1)或(i2)有前提全真而结论假的代入例，因此，按照演绎论证的标准，它是无效的。这样一来，就需要找到如何评价归纳假说的办法，学界普遍认为基本标准是[COP,p246]：

　　JH1.假说必须是可以检验的；

　　JH2.从假说得到的预言的真伪可以评判假说的优劣；

　　JH3.假说的说明域越广，其可信度就越高；

　　JH4.假说涉及的理论条件越少，其可信度就越高（奥卡姆剃刀）；

　　JH5.假说与通行的既有理论的协调程度越高，其可信度就越高；

　　JH6.能够预言新现象。

　　以后将择机对上述条件和标准展开讨论。

　　4.还有一种常见的综合性论证叫做类比论证。一个简单的例子如

　　a(1)乒乓球运动员在夏季喜欢喝X牌饮料，游泳运动员在夏季喜欢喝X牌饮料，足球运动员在夏季喜欢喝X牌饮料，因此，滑冰运动员在夏季也喜欢喝X牌饮料。

　　类比论证（analogy）的基本形式是（[COP,p240]）

　　(a1)设存在一组对象β1,…,βm和对象α,它们都具有属性P1,…,Pn，如果β1,…,βm还具有属性Q，则α具有属性Q.

　　显然，这里的属性P1,…,Pn就是对象β1,…,βm和对象α的共性，即对象β1,…,βm和对象α可以类比的根据，我们把这个根据叫做类比的基础。

　　在上面的例子中，属性P1,…,Pn是“在夏季”和“运动员”身份，属性Q是“喜欢喝X牌饮料”。

　　可以从形式上由枚举归纳模式(i1)推出类比模式(a1)，大意如下：因为已经（通过观察）知道具有属性P1,…,Pn的诸对象β1,…,βm都有属性Q，所以按照(i1)，可以概括出命题

　　H：凡是具有属性P1,…,Pn的对象都有属性Q.

　　既然对象α有属性P1,…,Pn,则由H得结论：α具有属性Q.

　　注意，原始的形式(a1)只把属性Q延申到对象α,而上面的推导中把属性Q延申到了一般情形，这个观察导致文献[POLb,p29]把上述推导过程形式化为：

　　 (a2)设命题H蕴含命题A,也蕴含命题B.如果B真，则A可信。

　　在这里，可以把类比推理的过程按照枚举归纳的思路解释如下：我们已经知道

　　　 B:具有属性P1,…,Pn的诸对象β1,…,βm都有属性Q.

　　并且观察到对象α有属性P1,…,Pn，于是希望有结论

　　　A:对象α具有属性Q.

　　其中支持这个断言的理由是我们猜想命题H成立。因此，波利亚认为命题H是A和B的共性，它的成立是A与B可类比的根据。在科学研究中，最终的目的常常是寻找一般性的假设，所以[POLb,]采用了(a2)这种解释。特别地，若在(a2)中考虑把A用H代替，则立即得到(i2)，即从类比论证模式(a2)可以导出枚举归纳论证模式。

　　综上所述，对于枚举归纳论证所做的评述也适用于类比论证。例如在(a2)中，关键的条件是如何找到命题H，因为它在普遍性方面比A与B的层次更高，所以这同样需要较高的抽象能力，也有结论（命题A）不真的风险。类比法也是综合论证。

　　5.文献[HO,p815]认为，类比论证“是人类智能的一个关键性方面”，并用一个所谓的“元类比”说明其特点，即“把类比看作和弦。想法很简单：表面上相似的东西常常并没有深入的联系，而有深入联系的东西又常常看上去毫不相干。这很自然地与和弦构成类比：物理上邻近的音符从和弦角度看相距甚远（如E-F-G），而和弦上邻近的音符在物理上又相距甚远（如G-E-B）。”[HO,p890]由此可知，判断(a2)中的命题A与命题B类似（即寻找命题H）不是一件容易的事。

　　一个著名的类比论证的实例是引力定律的发现。根据伽利略关于惯性的观念，牛顿提出，月球绕地球的运动必然是沿其轨道的切向的惯性运动和向心力引起的法向运动的合成。把这个想法与抛射物体在重力作用下沿曲线运动的现象做类比，牛顿认为这个向心力就是地球对月球的引力（即苹果传说）。由此构建的理论即引力定律[POLa,p27][ZH]。

　　要注意防止对类比论证的误解。我们这里说的“类比”是逻辑学中的专业名词，它的英文拼法是analogy,虽然在英汉词典里面把这个词解释为“类似，相似”，但是在逻辑学中只能严格地按照(a1)或(a2)的意义来理解。我们已经知道，枚举归纳法的假说必须是无歧义的和可验证的，同理，类比的基础也应该是无歧义的和可验证的。在传统文化中，“概念模糊，比附式推理盛行”[WU,p69],这种做法的主要缺陷往往就是有歧义的，或者是不可验证的，和逻辑学意义上的类比是完全不同的。“譬如这个人面色白润就说他肺经没病，因为肺属金，金应当是白色，现在肺现他的本色就无病。又姜若炮黑了用，就说可以入肾，因为肾属水其色黑。诸如此类，很多很多。”[LIA,p47]这些就是常见的比附式推理。用前述文献[HO]的话说，“表面上相似的东西常常并没有深入的联系。”

　　上面是对归纳论证的简单讨论，关于归纳论证和演绎论证在科学中的具体运用将在以后讨论。

参考文献

[COP]柯匹，I.M.等：逻辑要义（第2版），胡泽洪等 译，北京联合出版公司，2018

[COPL]F.Copleston：逻辑实证主义与存在主义，魏誌宏，雷沁阳 译，九州出版社2024

[HO]侯世达(Hofstadter,D.R.)：哥德尔，艾舍尔，巴赫——集异璧之大成，本书翻译组 译，商务印书馆，2017

[LIA]梁漱溟：东西文化及其哲学，上海人民出版社，2020

[MA1]麦基，B.:哲学如何塑造了我，郝苑 译，生活•读书•新知三联书店，2022[MA2]麦基，B.编：大哲学家，王幸华 译，九州出版社，2024

[POLa]波利亚，G.：数学与猜想，第1卷，李心灿等 译，科学出版社，2001

[POLb]波利亚，G.：数学与猜想，第2卷，李志尧等 译，科学出版社，2001

[WU]吴国盛：什么是科学，广东人民出版社，2016

[ZH]赵凯华，罗蔚茵：力学（第二版），高等教育出版社，2004

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CIP核准号:　2024092649

出版单位:　湖南科学技术出版社

ISBN:　978-7-5710-2897-8

作者:　古志鸣，王向东，王永丹编著

本书讨论了基础教育阶段的科学教育的若干主题，其中包括对科学课程及任课教师科学素养的讨论和评测学生成绩的原则性建议。书中从不同的角度论述了对科学精神的理解和科学课应该采用探究式教学的根据。本书既注重对科学教育的基础性解释，又有比较具体的操作性解释，可作为帮助广大中小学科学教师提升科学素养和教学技能的读物，也适合对科学和科学教育有兴趣的读者参考。

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