“8x3”还是“3x8”？ ——摆出来就一目了然了
原创 作者 士戎
1.判断问题的答案是“8x3”还是“3x8”，要回到问题的要求和乘法的定义
差不多三个月前，“8x3”还是“3x8”的问题在网上和各种媒体上有很多讨论。原问题大概是：“有3个盘子，每个盘子中有8个水果，问一共有多少个水果？”参与讨论的有一线教师、学生家长和“各路专家”等，人们都在发表各自的意见。本人看过三十篇左右的公众号文章和视频，发现各种意见五花八门，各自都以为自己有理，有些从数学的角度来说是“不可思议”的，跟数学的想法完全不同。比如：前几年不分“3x8”和“8x3”，现在又区分了，有时候区分，有时候不区分，让人无所适从。“都什么年代了，还区分是‘8x3’还是‘3x8’？”还有一个数学教师在视频上说如果数目小可以不区分顺序，数目大了不行。说如果有三个信封，每个里面有8千块钱，就不能不分顺序。原话我不一定记忆准确，但就是这样的意思。我注意到除了出版社回应“按照乘法定义的约定”这一句，将争论的判断交给乘法的定义之外，我没有看到其他任何一篇文章谈到乘法定义！学问或者精确的知识不同于生活中的事情，任何事不能按照自己“想当然”的想法和他人交流，学问中大家必须共同遵从精确语言和标准！一有争论或什么不清楚的，不需要（不必）求助于权威，必须回到最初的定义。必须养成这样的习惯，当我们谈到自然数的乘法时大家必须有相同或者等价的定义，否则根本讨论不了。这就像我们讨论一种动物“四不像”，甲只记得它不像马，乙只记得它不像牛。然后甲说（根据它的蹄子）像牛，乙说（根据它的脸）像马。这样甲乙的争论是没有意义的，因为他们没有搞清楚四不像的定义，谁都不能说服谁。如果这时求助于一个权威，权威固然可能断谁是谁非，如果权威没有搬出来定义以讲清楚何以如此，甲、乙虽然可以接受权威的断言，但甲、乙就仍然不明白所以然。解决这个问题的唯一办法是要他们把四不像的定义搞清楚，把自己的信息弄全乎就好，结论自然就有了。之所以出现针对前述问题要讨论“8x3”还是“3x8”这种现象最重要的原因就是没有回到定义，没有遵从数学的习惯。
2.定义、性质与计算
对于任何对象的讨论，特别是要教授学生时，首先是用比较熟悉的、学生容易理解的例子“提炼出”（麦克斯韦有一个说法“培育出概念”我特别喜欢）一种性质，用它来刻画一类对象或者关系，这就是给出了定义，就是具有这样性质的事物或者关系。二年级的学生，知道了自然数、加法、减法的定义，以及自然数乘法的定义。然后看看这样定义的加、减法和乘法都具有什么样的性质，如加法的交换律、结合律，乘法的交换律、结合律、乘法对加法的分配率。一般地学习计算是在了解了加、减法和乘法的定义之后，根据定义和（或）性质来进行计算，再就是应用。这只是一般的顺序，当然不一定必须按照这个顺序，比如在定义乘法之前可能就有一个“同一个数累加几次的问题”，给出乘法定义之后立刻就可以验证乘法的意义和简便性。
再回到原问题，我们不知道这个题目是在学习了乘法的哪些内容之后要学生计算的，如果是学习了乘法的定义之后立刻要学生计算的，（教师暗含的意思是，但必须说清楚）必须要学生利用乘法来计算。如果定义8x3=8+8+8，则按照乘法定义8+8+8必须列式子为8x3，即所列的式子应该是“8+8+8=8x3”而不是“8+8+8=3x8”。但如果没有说必须用乘法来计算，学生当然可以用加法来计算，因为你没有说清楚。当在学习了定义、性质之后，教师没有要求学生如何计算，按照逻辑，那么可以利用加法，可以写出“8x3”是因为利用了乘法定义；而写出“3x8”是利用了乘法的性质——交换律，都可以，都正确。教师要清楚自己的意图，要让学生明确地理解自己的意图，换言之，教师的言辞一般要比较严谨，书面表达更是要严谨。在此举一个波利亚讲的故事：说老师要求某初中的学生计算一个教学楼的高度，老师给了学生一个气压计。学生有下面几种做法：有的学生爬上楼顶，读出气压计的数值，利用公式算出楼的高度；可能还有人找出一段绳子，也爬上楼顶，把系上绳子的气压计当作重物顺下去让它触地，然后测量绳子的长度；还可能有人直接把气压计送给门房，让他直接告知楼的高度。这只是一个故事，但教师给出题目时要想到各种可能性，要严谨，使学生按照你的说法理解而没有歧义。
从这个问题的讨论中我们发现一件事情，那就是在教师和数学教材（我们当然理解为教材代表教师所掌握的数学）之间有一个所谓的“课程标准”，我们对这个标准很怀疑。大家看看对于“有3个盘子，每个盘子中有8个水果，问一共有多少个水果？”这个问题，是从中辨认出三个8相加，利用乘法定义去计算容易？还是辨认出“每份数”“份数”，然后再利用“每份数x份数=总数（相同的加数x相同加数的个数=总数）”容易？辨认出是“三个8相加”与辨认出“每份数”和“份数”难度相当，利用定义显然要比记忆并利用“每份数x份数=总数（相同的加数x相同加数的个数=总数）”去计算容易！并且利用定义直接、能强化乘法定义，理解乘法。而那个所谓“标准”中的公式表现的只是乘法的个别情形，强调被乘数与乘数，根本不具有一般性，更重要的是这样做不利于学生理解和掌握乘法交换律（实际上是排除了乘法交换律）。为什么要这样做呢？
3.乘法交换律与计算
从数学角度而言，乘法的交换律对于自然数乘法而言是必须（一定）成立的。但为了使学生“感觉”和对“乘法”含义的理解，则有必要坚持“乘法的物理意义”。如何协调？本文建议教材和教师这样做：不论一个盘子里或者筐子里装的什么，装多少都把它拿出来摆成一行，不同盘子里的水果或筐子里的东西放在不同的行中。这样不会损失学生的感觉，也不会超出学生的认知能力。这样“3个盘子，每个盘子中有8个水果”的事实就表现为：
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问题要求“一共有多少水果？”就变成了求上图（不要用矩阵，我看到有些教学用书里用了矩阵来描述，如果师生不了解矩阵概念，则不仅无益于理解问题，反倒增添了麻烦）中“有3行水果，每行8个水果（或者有8列水果，每列3个水果），一共有多少个水果”的问题。即使用数数的方法或用加法计算，这样的表述（图）也比一个一个盘子去数简单。看看这张图，从上到下看是3行水果，每行8个，利用乘法定义列式子就是“8x3”；从左到右看就是8列水果，每列3个，这样利用乘法定义计算式子列成“3x8”：上面两个做法都没有问题，且与交换律一致（实际上，在上图中通过“一行一行”地加或进行“一列一列”地加后其结果相等是乘法交换律成立的理由，大数学家盖尔方德就是这么讲解交换律的）。这样做能使学生在保持“乘法意义”的感觉的情况下，摆脱“每份数x份数=总数（相同的加数x相同加数的个数=总数）”这个“魔咒”与交换律的不协调的情形。顺便说一句，我们并不知道教材中乘法是如何定义的（即是8+8+8=8x3还是8+8+8=3x8，按照大家讨论的情形看应该是8+8+8=8x3）有的教材就是定义8+8+8=3x8，完全可以（这样和未来的代数就一致了，3a=a+a+a），“3x8”或者“8x3”只是一个“符号”，它的内容都是“8+8+8=24”，如此定义的8+8+8=3x8（根据上面的图）也满足交换律，即3x8=8+8+8=8x3。
在没有特别要求的情况下，问题“有3个盘子，每个盘子中有8个水果，问一共有多少个水果？”的求解可以直接利用加法8+8+8=24，可以写成8x3=24，也可以写成3x8=24，甚至可以“做梦”直接得出24。在此再一次强调教师言辞的严谨性很重要。
4.问题的转换或从不同观点看问题
再者，从解决问题的角度而言，往往是要把问题进行“转换”或者进行变化，以使得我们可以从不同的角度或者观点来看原来的问题。从盘子里把水果拿出来摆成若干行、从信封里把工资掏出来、摆出来后再去求有多少就是对原问题的转换，学生明确知道变化后的问题答案就是原问题的答案，因为在这个“摆出来”的过程中，并未增加一个水果，也没有少了一个水果！让学生从一开始就接触、了解和慢慢熟悉“转换”，即从不同的角度和用不同的观点看问题，其好处是不言而喻的，更是对他们进行了一次他们可以理解和模仿的练习。
20世纪初以来，数学的基础是牢固的。反映在中小学数学教学中的各种问题在于教材编写者、教师对数学（概念和方法）的理解上有些问题，在教材编写和教学中又要兼顾“学生的理解能力和直觉”，这又可能增加了对数学的某些误解。处理学生的感觉（直觉）与科学规律之间的关系要首先保证科学规律的成立，个人的感觉（直觉）要服从科学规律，与科学规律一致的直觉是我们要训练的（惯性定律就与一般人的直觉矛盾，但学习的结果就是要接受惯性定律，使之成为我们思考的依据，即成为我们的直觉）。当然，引导学生的直觉给出正确的结果更好。
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《科学与科学教育的基础初探》国家版本数据中心馆藏数据库、CIP数据库
CIP核准号: 2024092649
出版单位: 湖南科学技术出版社
ISBN: 978-7-5710-2897-8
作者: 古志鸣，王向东，王永丹编著
本书讨论了基础教育阶段的科学教育的若干主题，其中包括对科学课程及任课教师科学素养的讨论和评测学生成绩的原则性建议。书中从不同的角度论述了对科学精神的理解和科学课应该采用探究式教学的根据。本书既注重对科学教育的基础性解释，又有比较具体的操作性解释，可作为帮助广大中小学科学教师提升科学素养和教学技能的读物，也适合对科学和科学教育有兴趣的读者参考。