古志鸣　辑录

　　为了迎接2026年国际数学日，我们选辑了几条关于数学的语录，其目的是想借此机会重温一下著名数学家们对纯粹数学(或称为基础数学)的根本看法，也许还能进一步帮助我们理解人类认识世界的思维特征。

　　下列语录的作者包括好几位大师，其中有数理逻辑的创建者罗素和哥德尔，诺贝尔奖得主罗素和彭罗斯，菲尔兹奖得主阿蒂亚和孔涅，沃尔夫奖得主阿诺德。

　　数学是我们信仰永恒的与严格的真理的主要根源,也是信仰有一个超感的可知的世界的主要根源。几何学讨论严格的圆,但是没有一个可感觉的对象是严格地圆形的;无论我们怎么小心谨慎地使用我们的圆规,总会有某些不完备和不规则的。这就提示了一种观点,即一切严格的推理只能应用于与可感觉的对象相对立的理性对象;很自然地也可以再进一步论证说，思想要比感官更高贵而思想的对象要比感官知觉的对象更真实。

B.罗素

　　有些东西,只要我们相信在别人的头脑里和在我们的头脑里都是以同样的形式存在的,我们可以一起来考虑和讨论,那么它就成为客观事物(而不是“主观”事物)了。因为数学语言是精确的,所以完全适合于定义存在某种一致看法的概念。在我看来,这就足以使我们感受到一种客观的存在。

A.波雷尔

　　科学理论所要求的精确性、可靠性和协调性则需要由某种超越任何个人(靠不住的)头脑的条件来保证。正是在数学里,我们发现了比在个人头脑牢固得多的确定性。这难道还不能说明在我们之外存在着每个个体无法企及的某种实在么?

R.彭罗斯

　　我认为，在对所讨论的概念进行充分澄清之后，将有可能以数学的严格性进行这些讨论，并且结果将是（在某些几乎不可否认的假设下[特别是假设确实存在某种数学知识]），柏拉图主义的观点是唯一站得住脚的。我指的是这样一种观点：数学描述了一种非感官的现实，这种现实独立于人类心智的行为和倾向而存在，并且仅通过人类心智感知，而这种感知可能非常不完全。这种观点在数学家中相当不受欢迎；然而，确实有一些伟大的数学家支持这种观点。例如，埃尔米特曾写下以下句子：

　　“如果我没有弄错的话，有一个完全由数学真理组成的世界，我们只能通过智力接触到这个世界，就像存在一个物理现实的世界一样；两者都独立于我们，并且都是神圣创造的。”

K.哥德尔

　　数学的进展简化了证明，给出新意，深化认识，这是通过发现新概念以及将原有的结果置于一般理论之下实现的，它需要几年、几十年甚至有的长达几个世纪的努力。专门术语（Banach空间，Artin环，纤维丛）可能使非专家望而生畏，但它们正是简要地阐明这种努力、研究和伟大先驱们的思想的语言。

P.R.哈尔莫斯

　　新的概念是数学进步的基本要素,它帮助统一过去的工作并为进一步的研究扫清道路。从长远来看,它们与解决困难的问题或发展新技巧具有完全同等的重要性。

M.F.阿蒂亚

　　应用数学没来得及跟上物理,而在理论数学中却找到了所有未来物理学发展所必需的一切。

　　我们的例子表明,“没有比好的理论更切实际的了”。

V.I.阿诺德

　　突然领悟前人的秘密所产生的快乐，和突然发现迄今未知的真理所带来的快乐，对我来说都是一样的。两者都有豁然开朗的瞬间，飘然欲仙的幻觉，以及放松之后的狂喜和兴奋。

P.R.哈尔莫斯

　　外尔无论在何种情况下都不会满足于用定理，证明，等等来“解释”个别的现象、实验等等。更确切地说，他处处力求通过塑造理论的结构来作为这种解释，从而表明，是什么将它们在“最深处”结合到一起。……我们可以这样猜想，是他那异乎寻常的巨大的专注力使他能够一下子综观一个领域，并且将其结构作为整体理解。因此也就可以说明那看来几乎是难以置信的高效率：他居然能在那么短的时间内学会那还没有成形，尚在孕育之中的量子力学。

D.Speiser

　　黎曼假设是个魔鬼般的问题。……如果仅仅需要一种技巧就能证明它，……那将是一个悲剧。……另一方面，也可能是，除了真正完全理解该结构，别无它法。这就很棒，但意味着我们仍然不知道离目标有多远，只能耐心等待。如果有一种技巧，那将十分可悲，但悲剧是有可能发生的，你决不知道。我们会感到非常失望。

A.孔涅

　　视觉占用了大脑皮层的百分之八十或九十。……因此spatial intuition或者spatial perception是一种非常强有力的工具，也是几何学在数学上占有如此重要位置的原因，它不仅仅对那些明显具有几何性质的事物可以使用，甚至对那些没有明显几何性质的事物也可以使用。我们努力将它们归结为几何形式，因为这样可以让我们使用我们的直觉。我们的直觉是我们最有力的武器。

M.F.阿蒂亚

　　我们都希望能深入理解前人没能理解的宇宙奥秘，但理解得建立在概念之上。我们人类所发展出来的最精密的概念系统是什么？是数学结构。有些数学结构已经存在，有些并不存在而需要从头创造。这两种情况我都碰到过。从本质上讲，我们只能理解那些可以被概念化的东西。

M.贝里

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《科学与科学教育的基础初探》国家版本数据中心馆藏数据库、CIP数据库　

CIP核准号:　2024092649

出版单位:　湖南科学技术出版社

ISBN:　978-7-5710-2897-8

作者:　古志鸣，王向东，王永丹编著

本书讨论了基础教育阶段的科学教育的若干主题，其中包括对科学课程及任课教师科学素养的讨论和评测学生成绩的原则性建议。书中从不同的角度论述了对科学精神的理解和科学课应该采用探究式教学的根据。本书既注重对科学教育的基础性解释，又有比较具体的操作性解释，可作为帮助广大中小学科学教师提升科学素养和教学技能的读物，也适合对科学和科学教育有兴趣的读者参考。

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