原创 作者 古志鸣

　　数学是人类认识外界的最早的思维模式,尤其是纯数学,它在两千多年前的古希腊就是哲学(包括科学)的核心内容之一.文献[RU,p45]认为:“数学是我们信仰永恒的与严格的真理的主要根源,也是信仰有一个超感的可知的世界的主要根源.几何学讨论严格的圆,但是没有一个可感觉的对象是严格地圆形的;无论我们怎么小心谨慎地使用我们的圆规,总会有某些不完备和不规则的.这就提示了一种观点,即一切严格的推理只能应用于与可感觉的对象相对立的理性对象;很自然地也可以再进一步论证说，思想要比感官更高贵而思想的对象要比感官知觉的对象更真实.”

　　从认识论角度看，数学在近代科学中的核心作用是将归纳论证的结论形式化，即用数学语言来叙述归纳得到的假说,然后通过演绎论证导出该假说中蕴涵的较特殊的结论,如果这些结论能解释归纳所依赖的观测数据,并且还能预言新的现象,则可以认为原假说得到了实验或观察的验证.通常把这个程序称为假设-演绎法.由此，人们经常说“数学是科学的语言”，不过这只是一个形象的比喻，数学比普通的自然语言要深奥得多.正如著名数学家小平邦彦所说：“人们都说数学是自然科学的语言，但很难设想在简单的语言中就会有预卜黑洞的能力.”

　　从历史上看,近代科学的兴起伴随着一种被后人称为机械化(mechanization)或者力学化的特征,简单地说,就是把宇宙视为一架精密的机器,其运转的原理就是后人所说的力学(mechanitics),以至于到今天还保留着这种历史的印记,例如在现代物理学中有所谓“四大力学”(理论力学,统计力学,电动力学,量子力学)的说法.但是,力学化的表现形式就是数学化.“在更严格的意义上,力学的基本概念是数学概念,力学本身就是一门数学.”[DI,p715]

　　从科学教育的角度来看,为了使普及科学思想的工作落到实处,我们认为需要通过一些很典型的实例来说明数学在科学中的核心作用.

1.先声:托勒密的计算

　　公元2世纪,希腊人托勒密的《天文学大成》(The Almagest)已经能够讨论恒星的升起和落下的时间的计算问题了.众所周知,作为人类第一个完整的天体理论,The Almagest所秉持的是地心学说,因此其中的坐标系都是以地球为中心的天球坐标系.

　　考虑现代天文学的地平坐标系,它的天球以地球中心为中心,基圈是观测地的天子午圈和地平圈.这是一种非常直观的坐标系,甚至可以说它使观测者“身临其境”.因为地球在自转,所以天体的地平坐标随时间的变化代表着该天体的周日视运动.以下我们就使用地平坐标系(详见[HU]).

　　以太阳的出没时间为例.设太阳的赤纬是,观测地纬度是,日出时角为,日落时角为,则　 　　(1.1)

　　这个公式的来源是球面三角学.考虑球面三角形PZM,见图1.1,其中P是北天极,Z是观测地的天顶,这两点所在的大圆是天子午圈,M是日落点,.

　　然后在球面三角形PZM中使用球面余弦定理便得公式(1.1).

　　在人类历史上The Almagest第一次系统地给出了许多精确预测天象的理论,其中就包含了上述的结果(见[PED,p110]).古今两者不同之处主要在于那时的三角学还没有现代数学这么成熟.例如托勒密使用一种基本的函数chα,它表示在半径为R的圆周上,圆心角为α的圆弧所对的弦长(见[PED],p56).容易证明,用现代术语表示就是于是,其它三角函数就可以表示出来了.

2.先驱:哥白尼和开普勒的数学化宣言

　　从认识论的角度看,哥白尼和开普勒的研究工作最早地展示了假设-演绎法的基本思想,特别是清晰地指出了数学在科学假说中的核心地位.为了尽量少地涉及比较小众的天文学术语,突出全文的主题,本节将通过对文献[BU]中的几段文字的理解来说明哥白尼和开普勒的科学思想,至于具体的例子,我们将在更接近常识的地面力学里展示(见节3).

　　哥白尼的《天球运行论》(1543年)是关于太阳系结构的日心说体系,它彻底革新了统治天文学一千多年的地心说体系,被称为整个近代科学的开山之作.很显然,地心说和日心说都是描述太阳系结构的几何模型,它们的核心差别是两个系统的几何原点不同.多数研究成果都认为,地心说的基本假设是地球保持静止不动,而日心说则在数学的简洁性方面远胜地心说,但是它必然要面对如何解释地动的难题.哥白尼在做他的选择时坚定地站在数学这一边,相信地动说的难题一定是表面的,是人为的错觉.

　　面对地动说遭到的严重反驳,哥白尼还能提出他的新假设,这使得伽利略非常佩服，他说“当我想到阿里斯塔克和哥白尼能够使理性完全征服感官，以至于不管感官表现为怎样，依旧能使理性成为信念的主人，我真是感到无比赞叹.”([BU,p70])

　　事后看来，哥白尼的思想中一定有某些深刻的背景.据科学史家(例如[BU])的研究,这些背景包括:长期流传的关于自然界的简单性原则;对于以人为中心(即以地球为中心)的哲学的否定;数学的进步有利于把天体模型做等价的变换.更深层的哲学根据是毕达哥拉斯-柏拉图主义的倾向,即认为地心说这个“繁琐的体系违反了天文学宇宙是一种有秩序的数学和谐的假定.”

　　开普勒是哥白尼体系的坚定支持者,他以其震撼思想界的行星运动三定律(1621年)把日心说提高到了更精准的层面,被后人誉为“天空的立法者”:

　　开普勒第一定律：行星围绕太阳运动的轨道是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上.

　　开普勒第二定律:行星与太阳的连线在相等的时间里扫过的扇形面积相同.

　　开普勒第三定律：行星的椭圆轨道的半长轴的立方与运行周期的平方之比是常数.

　　这三个定律的表述显然是三个标准的数学命题,尤其是其中用到了古希腊时代早已准备好的数学思想和成果.例如,公元前五百年的毕达哥拉斯用数的比表示自然规律的数学和谐思想,以及公元前一百多年由阿波罗尼奥斯创立的圆锥曲线理论[LI].再联想到后来这三个定律被牛顿当作建立万有引力定律的基础,我们可以说,这是近代科学诞生必须经受的一场数学洗礼.作为科学假说的数学化的最经典的范例,开普勒三定律背后的思想根源值得关注.

　　开普勒是最早明确表达假设-演绎思想的人之一,他指出,每一个合格的科学假说都必然能够用数学语言刻画,通过归纳构造假说就是找寻现象背后的原因,他认为,隐藏在观测事实背后的数学和谐是这些事实的原因.这种因果性观念实质上是用精确的数学重新解释亚里士多德的形式因，它与早期毕达哥拉斯学派的基本观念也有明显的密切关联.这种原因的和谐必须在现象中得到精确的或严格的证实，这是开普勒哲学新的重要特征[BU,p54].

　　进而,开普勒提出,正确的假说必定是这样的陈述,即可在其结果中发现背后的数学和谐.开普勒认为,在关于同样事实的若干不同假说中,正确的假说能够表明为什么在其它假说中毫无关联的那些事实恰恰是这个样子,也就是说,能够显示这些事实之间有序而合理的数学关联.例如,太阳的周年视运动是地心说的特殊现象,而在日心说中只是地球作为一个普通的行星的绕日公转.如果把这个公转周期值与轨道参数代入第三定律,发现其结果与其余行星的相应结果相同,这正好说明太阳才是系统的中心.

　　开普勒指出,通过量以及量之间的关系来认识世界,这是人类的理解力的典型特征.“正如创造眼睛是为了看色彩，创造耳朵是为了听声音一样，创造人的心灵是为了理解量，而不是你想理解什么就理解什么.”因此，量是事物的根本特征，是“实体的第一偶性(primarium acc idens substantiae,即亚里士多德的“本质”以外的属性)”，“先于其他范畴”.就我们的知识世界而言，量的特征是事物的唯一特征[BU,p58].

　　开普勒作为一位科学哲学家所作出的扎扎实实的有前瞻性的成就是,他坚持有效的数学假说必须能在观察到的世界中严格加以证实.他基于先验的理由完全确信，宇宙从根本上说是数学的，一切真正的知识必定是数学的.但是他也明确表示，作为神的馈赠而内在于我们之中的思维法则自身不可能获得任何知识，必须有觉察到的运动提供材料以对它们作严格例证.

3.先驱:伽利略的力学原理

　　伽利略是哥白尼体系的另一位坚定支持者,他用自己的具体的研究成果证实了哥白尼体系的许多重要结论,还通过出版著作向全世界传播这些信息.伽利略的主要著作包括1632年发表的《关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对话》(简称为TWS)，1638年出版的《关于两门新科学的谈话》(简称为TNS).

　　在实际观察方面,伽利略在人类历史上第一次把当时刚刚发明的望远镜用作天文观测的仪器,他自己动手改进了望远镜的性能,并从1609年开始,坚持做长期的系统的实际观测(详情可见[COH]第四章).从假设-演绎的思路来说,日心说与地心说都是关于天球的几何学模型,都没有涉及动力学问题.因此,要通过观测天象来支持日心说,就是要发现地心说无法自然地解释的天象.例如,伽利略通过望远镜发现了金星的位相变化及其尺度随位置变化的事实.这个现象完全无法用托勒密体系解释,但却是日心说的非常自然的推论.

　　在创建理论方面,伽利略以独立的思想来分析和解释观测的结果,开辟了近代物理学的新纪元.文献[COH]在附录10中概述了伽利略关于运动学的全部发现,以下我们只把与地动说相关的部分做一个简单的描述,其中主要涉及伽利略的三个基本原理:惯性原理,匀加速运动原理,叠加原理.

　　前面已经提到,日心说被质疑的最大问题是如何解释地球运动而人类却无法感知.反对地动说的最有力的“实验验证”是:我们在地面上原地跳起来之后必然会落回原处.伽利略对此给出的答案是天才的惯性假说(TWS).

　　伽利略在提出惯性思想的过程中的做法是“思考,创造概念,通常用笔和纸来工作”.[COH,p94],他导出原始假说的主要思路是思想实验,而且基于如下的思考,他并不满足于定性归纳.

　　因为用数学语言表达的原始假说是抽象的(全称命题的主项不要求存在含义,见[COP]),所以无法直接用实验或观察验证它.假设-演绎法是通过演绎论证,从该假说导出满足如下两个条件的命题:其一是该命题便于验证;其二是该命题必须是从原始假说有效地推出的定量的命题.然后验证这个命题.因为有效的演绎论证使得该命题不会超出原假说的范围,所以保证了这是对原始假说的验证.本节试图说明伽利略的具体做法.

　　在近代早期,便于验证的质点运动规律的表达方式显然是路程随时间演化的函数关系,不同的运动规律对应着不同的函数.这里最简单的情况显然是匀速运动,即路程函数是线性函数,其中速度是常数,如果,就是静止不动.

　　对于一般情形,伽利略提出了瞬时速度的概念,用现代数学的话说,就是考察的导函数.速度随时间的变化必然导致加速度概念的出现,这也是伽利略的贡献.

　　伽利略的惯性假说断言,没有受到外力的质点永远做匀速运动.这就是惯性假设的数学表述,验证这个假设所需要的实验条件“没有受到外力”显然无法精确地实现,如上所述,伽利略必须使用数学,尽管那个时代的数学知识远没有今天这样丰富,他还是神奇地成功了.

　　从古代到近代早期,总是不断地有人质疑亚里士多德的物理学,其中最有代表性的事情有:抛射体在脱离了施力者之后的运动如何可能,另一个就是关于物体在自由下落时的速度问题.伽利略敏锐地看出这里隐含着惯性原理.

　　具体的做法大致可以分为两个步骤.

3.1 先来看匀加速原理.伽利略认为自由落体是自然界天然赋予的特殊现象,必须予以重视；不仅如此,他还相信,这种天然赋予的现象一定遵循一条古老的原理,即“自然总是以最简单或最经济的方式运作”.出于这种思考,伽利略曾经考虑过速度随时间变化的两种最简单的形式,即

其中表示正比例关系(即线性关系).伽利略早期曾考虑过公式(3.2),但是在TNS中,他最终选择采用公式(3.1),因为从它导出的路程公式

符合实验数据.这种从验证(3.3)来达到验证假设(3.1)的方法就是典型的假设-演绎法.

　　注意，在伽利略时代,微积分还没有被发明出来,为了从表示的(3.1)导出表示的(3.3),他在TNS中使用了图示法，这个图与14世纪的奥雷姆法则相似(参见[DI,p288]),其大意如下：

　　先考虑匀速运动的路程公式.这个公式的右边是两个量的乘积,故可以理解成平面坐标系里的一个底边长为,高长等于的矩形(即直线下方的图形)的面积的表示(见图3.1(a)).

　　然后大胆地把这个特殊情形推广到一般情形(归纳法),即假设

原理任何变速运动在时间t内的路程值都等于坐标系里的速度曲线

　　下面的 ,底边长为 的图形（通常叫做曲边梯形）的面积的值 ( 见图 3.1(b)).

　　然后把原理用到自由落体情形,容易看出,如果假设速度与时间成正比,,即匀加速,比例系数是恒定的加速度,则对应的图像是图3.1(c),其中三角形的面积是.根据原理，得知在时间内的路程为.这就是(3.3)式.

　　以上的推导过程完全符合后来出现的微积分学的原理 .



3.2 接下来考虑对地动说的解释.如前所述,这应该从抛射体的运动入手.

　　在TWS中,伽利略考虑在平静的水面上匀速运动的帆船,在此船上做自由落体实验([DI],p502).为了用数学来分析,伽利略运用了他首创的叠加原理,即把一个运动分解为两个不同方向的运动的合成.用后来的坐标语言说,就是建立一个直角坐标系.先看固定在岸上的坐标系.把此物体的运动分解为沿船航行的方向(x轴正向)的运动和竖直(y轴负向)运动的合成.因为此物体在水平方向没有受到外力,依惯性假说,其运动是匀速运动,速度等于帆船的速度，路程函数是;而竖直运动是匀加速运动,若初始路程是零,则路程函数是.

　　在岸上静止不动的人看到的现象就是上述坐标系描述的情形,其中两个运动合成的效果是平抛物体的运动，即沿抛物线

下落的运动.(这个分析过程同样适用于一般抛射体的运动.)

　　在船上静止不动的人看来,因为落体在水平方向相对他静止,所以在他的坐标系中,运动轨迹落在直线x=0(即y轴)上,他只能看到物体垂直下落.

　　把这个分析用到地球表面,同样可以解释地面上自由落体为什么必然垂直下落在正下方,尽管地球在自转.

　　以上两个步骤就是对惯性假说的验证,其中数学的作用值得仔细体会.特别地,伽利略的基本思路是指出了在不同的参照系中运动方程的变换法则,即被后人归纳的运动的相对性原理,这是整个现代物理学的框架的第一块基石.

　　从方法论上讲,和同时代的开普勒一样,伽利略也觉悟到量的重要性.在TWS中他的代言人指出：如果有人把重物自由下落的原因说成是物体的“重性”,那他只不过是把未知的原因起了一个名字,因此没有带来实际的知识.这里的“重性”就是亚里士多德所说的物体趋向自然位置的“本性”或“本质”.正因为如此,伽利略放弃了对质的

　　追问,转向对量的思考,即研究自由落体的路程是如何随时间变化的([DI,p481-482]).伽利略的这个关注体现了他接受毕达哥拉斯-柏拉图传统的倾向：“如果我再次开始我的研究，我会遵循柏拉图的建议从数学入手.”(TNS,转引自[AL,p349])

　　伽利略对数学的重视还体现在他更加明确地复兴了古代原子论者关于两类性质的思想:自然界的第一性质是物质世界固有的不变的性质,例如大小,形状,位置,运动等等,这些性质可以完全用数学来表示.第二性质是第一性质作用在感官产生的性质,例如气味,颜色等等,“如果把生命体移走,所有这些性质也就被消除或消灭了”.

　　文献[BU,p96-97]在评价伽利略的巨大成就时写道,“他把自然界描述成一部由时空中的物质运动所构成的巨大而自足的数学机器，而具有目的、情感和第二性质的人，则作为一个无足轻重的旁观者和这场伟大的数学戏剧的半真实结果被驱逐了出去.鉴于种种这些激进的表现，我们必须把伽利略视为有史以来最重要的思想家之一.在每一个重要方面，他都为这种正在前进的思想潮流中仅有的两位能与之相比的思想家——笛卡尔和艾萨克·牛顿——开辟了道路.”

(待续)

参考文献

[AL] 阿里奥托,A.M.: 西方科学史(第2版),鲁旭东等 译,商务印书馆, 2011  

[BU] 伯特,E.A.: 近代物理科学的形而上学基础,张卜天 译,商务印书馆, 2018 

[COH] 科恩,I.B.: 新物理学的诞生,张卜天 译,商务印书馆, 2016

[COP] 柯匹,I.M.等：逻辑要义(第2版)，胡泽洪等 译,北京联合出版公司, 2018 

[DI] 戴克斯特豪斯,E.J.: 世界图景的机械化,张卜天 译,商务印书馆, 2018

[HU] 胡中为,孙扬: 天文学教程(上),上海交通大学出版社, 2019

[LI] 李文林: 数学史概论(第二版),高等教育出版社, 2002 

[PED] Pedersen,O.: A Survey of the Almagest. Springer, 2011

[RU] 罗素,B.: 西方哲学史(上卷),何兆武,李约瑟 译，商务印书馆, 1963

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CIP核准号:　2024092649

出版单位:　湖南科学技术出版社

ISBN:　978-7-5710-2897-8

作者:　古志鸣，王向东，王永丹编著

本书讨论了基础教育阶段的科学教育的若干主题，其中包括对科学课程及任课教师科学素养的讨论和评测学生成绩的原则性建议。书中从不同的角度论述了对科学精神的理解和科学课应该采用探究式教学的根据。本书既注重对科学教育的基础性解释，又有比较具体的操作性解释，可作为帮助广大中小学科学教师提升科学素养和教学技能的读物，也适合对科学和科学教育有兴趣的读者参考。

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